\cleardoublepage
\chapter{Entwicklung eines Transimpedanzverstärkers 
    für die Ionenmobilitätsspektrometrie}

Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Auslegung eines spezifischen
TIV-Schaltkreises für die Ionenmobilitätsspektrometrie.
Zuerst erfolgt die Festlegung der zu erreichenden
Zielparameter des Verstärkers. Anschließend werden verschiedene
Bauteile untersucht und zur Auswahl gezogen, 
wobei die limitierenden parasitären Effekte dieser dargestellt werden.
Eine Auswahl der Bauteile wird mit Hinsicht auf die Zielparameter
des Designs durchgeführt.

\section{Zielparameter}
\label{chap:tia_design_goals}

Wie in Abschnitt \ref{chap:tia_in_ims} dargestellt, ist die Aufgabe eines TIVs im IMS,
die Stromflüsse der Ionenpakete auf eine messbare Spannung zu verstärken. Hierbei soll der TIV die Form eines solchen
Paketes möglichst akkurat abbilden.
Für das in dieser Arbeit ausgewählte IMS-Verfahren ist bereits die Größe der Ionen-Pakete bekannt.

Der Verstärker wird so ausgelegt, dass er
für ein IMS nutzbar ist, welches am
Institut für Grundlagen der Elektrotechnik und Messtechnik
der Leibniz Universität Hannover genutzt wird.
Der Aufbau dieses IMS ist vergleichbar zu dem in 
\cite{Reinecke2018Oct} dargestelltem System.
Abbildung \ref{fig:example_ims_peak} zeigt einen Peak der von einem
solchen System gemessen wurde.

\begin{figure}[ht!]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/example_peak.png}
    \caption[Messung eines beispielhaften Ionen-Peaks]{
        \label{fig:example_ims_peak}
        Messung eines beispielhaften Ionen-Peaks.
        Zu erkennen ist die annähernd gaussche Verteilung
        mit einer Breite von etwa $\SI{60}{\micro\second}$.}
\end{figure}

Zu sehen ist, dass dieses System Ionenpakete mit einer
annähernd gausschen Verteilung und
mit einer Breite von circa $\SI{35}{\micro\second}$
für die kleinsten Pakete erzeugt.
Um diese Pakete abbilden zu können ist eine Bandbreite von mindestens $\SI{30}{\kilo\hertz}$ notwendig.
Die größte Peak-Amplitude, die hierbei abgebildet werden soll,
befindet sich im Bereich von circa $\SI{1}{\nano\ampere}$.

Der Ausgang des TIV wird einen Analog-Digital-Wandler (im folgenden ADC) antreiben. Diese Bauteile wandeln ein
Spannungssignal in ein digitales Signal um, welches vom Rest des Systems ausgewertet werden kann. Der im Ziel-IMS ausgewählte ADC,
der {\em LTC2274}, hat einen 
differentiellen Eingangsbereich von $\pm\SI{2.25}{\volt}$ \cite{DatasheetLTC2274}.

Bei gewünschtem nominalem Eingangsbereich von $\SI{1}{\nano\ampere}$
und maximaler Ausgangsspannung von $\pm\SI{2.25}{\volt}$ wird eine
Ausgangsspannung von $\SI{1}{\volt}$ bei $\SI{1}{\nano\ampere}$
gewählt. Hierdurch wird sicher gestellt,
dass der ADC nicht saturiert und alle Peaks korrekt abgebildet werden können.

Somit kann die Gesamtverstärkung des TIVs festgelegt werden als:
\begin{equation*}
    A_\mathrm{TIV} = V_\mathrm{out}/I_\mathrm{in} = \SI{1}{\volt} / \SI{1}{\nano\ampere} = \SI{1}{\giga\ohm}
\end{equation*}


\cleardoublepage
\section{Analyse der Parasitäreffekte}


Kapitel \ref{chap:basics_parasitics} und \ref{chap:basics_opamp} beschreiben grundlegende
parasitäre Effekte einiger Bauteil. Im Folgenden sollen diese Effekte genauer auf ihren
Einfluss auf eine TIV-Schaltung untersucht werden.
Grenzwerte für bestimmte Parameter mithilfe der Zielparameter sollen bestimmt werden und
Möglichkeiten zur Reduktion einiger Parasitäreffekte werden untersucht.

\subsection{Effekte der passive Bauelemente}

Folgend wird auf das Verhalten der passiven Bauteile eingegangen und wie deren parasitäre
Effekte den Schaltkreis beeinflussen. Dies bezieht sich überwiegend auf den Rückkoppelwiderstand und
die parasitären Kapazitäten der Schaltung.

\subsubsection{Thermisches Rauschen}
\label{chap:r_noise}

Wie bereits in Kapitel \ref{chap:basics_parasitics} beschrieben, besitzen resistive Bauteile
ein thermisches Rauschen. In diesem Abschnitt wird der Einfluss des Rauschens auf 
die Messungen eines TIVs untersucht.

In einem TIV-Schaltkreis gibt es ein Bauteil mit hohem Widerstand: Der Rückkoppelwiderstand.
Somit wird vermutet, dass dieser Widerstand eine dominierende Quelle des thermischen Rauschens ist.
Laut Gleichung \ref{eqn:thermal_voltage_noise} wächst die Amplitude des Spannungsrauschens mit der Wurzel des
Widerstandswertes, wodurch eine erste Vermutung ist, dass ein kleinerer Widerstand besser wäre.
Für einen TIV ist der Eingang jedoch ein strombasierter Eingang und die 
Verstärkung des TIV nimmt proportional zur Widerstandsgröße zu.

Das Spannungsrauschen über dem Widerstand kann 
nach Ersatzschaltbild  \ref{fig:example_r_noise} (Seite \pageref{fig:example_r_noise})
in einen äquivalenten Strom durch den Widerstand umgerechnet
werden, welcher in den Eingang des TIVs fließt.
Dies kann durch Umstellung von Gleichung \ref{eqn:thermal_voltage_noise}
zusammen mit dem Ohm'schen Gesetzt erreicht werden.
Hierbei ist $I_\mathrm{n,rms}$ das Stromrauschen,
$U_\mathrm{n,rms}$ das Spannungsrauschen, $k_B$ die
Boltzmann-Konstante, $T$ die Temperatur des widerstandes
und $\Delta f$ die betrachtete Bandbreite.

\begin{eqnarray}
    I_\mathrm{n,rms} & = & \frac{U_\mathrm{n,rms}}{R_f} \\
    I_\mathrm{n,rms} & = & \frac{\sqrt{4k_BTR_f\Delta f}}{R_f} \\
    I_\mathrm{n,rms} & = & \sqrt{\frac{4k_BT\Delta f}{R_f}}\label{eqn:thermal_current_noise}
\end{eqnarray}

Eine beispielhafte Rechnung mit einem $\SI{100}{\mega\ohm}$ Widerstand
bei Raumtemperatur ($\SI{25}{\celsius}$) und $\SI{30}{\kilo\hertz}$
Bandbreite ergibt ein Rauschen von $\SI{2.22}{\pico\ampere}$.

Laut Gleichung \ref{eqn:thermal_current_noise} ist ein {\em größerer} Widerstand von Vorteil,
um den Einfluss des thermalen Rauschens zu minimieren.
Für das Design soll somit eine Maximierung des
gesamten Rückkoppelwiderstandes angestrebt werden.

\subsubsection{Parasitäre Rückkopplungskapazität}
\label{chap:r_para_calculations}

Der Rückkoppelwiderstand ist ein zentrales Bauteil des TIVs, welcher die Verstärkung 
des gesamten Schaltkreises festlegt.
Alle Bauteile besitzen parasitäre Kapazitäten, 
wie in Kapitel \ref{chap:basics_parasitics}
beschrieben wurde.
Abbildung \ref{fig:example_r_cp} auf Seite \pageref{fig:example_r_cp} zeigt, dass diese Kapazität
an hochohmigen Widerständen schon bei geringeren Frequenzen einen Einfluss auf die Bandbreite hat.
Im Falle des Rückkoppelwiderstandes sorgt die Verringerung der Impedanz für eine Verringerung
der Verstärkung des OpAmp und somit für eine reduzierte Bandbreite des gesamten Verstärkers. Diese Einschränkung
darf nicht unter die in Kapitel \ref{chap:tia_design_goals} festgelegte Zielbandbreite fallen.

Um die Ursprünge, Grenzwerte und mögliche Kompensationsmöglichkeiten 
dieser Kapazität besser zu verstehen, wird genauer auf 
diese eingegangen.
Hierfür wird eine Simulation in dem Programm ``CST Studio Suite 2021'' eingerichtet. Dieses Programm erlaubt die Simulation
verschiedener elektrostatischer und dynamischer Modelle, um zum Beispiel die kapazitive Kopplung einer Schaltung untersuchen zu können.

Als erster Ansatz wird von einem Dickfilm-Widerstand im Gehäuseformat ``1206'' ausgegangen.
Diese Größe bietet eine angemessene Auswahl von Widerstandswerten in der Größenordnung eines TIV-Rückkoppelwiderstandes an
und ist leicht erhältlich. Somit ist dies ein guter Kanditat für den im späteren Design verwendeten Widerstand.
Diese Art von Widerstand besteht aus einem Keramik-Kern mit zwei metallisierten Anschlüssen an den Enden und einem 
resistiven Film, often Kohle, welcher
den eigentlichen elektrischen Widerstand bildet.
Das in CST erstellte Modell hierfür ist in Abbildung \ref{fig:cst_model_1206} dargestellt.  

Eine weitere mögliche Bauart eines Widerstandes ist die sog. Flipchip-Terminierung.
Hierbei wird die Metallisierung nur auf einer Seite der Keramik, neben dem Widerstandsfilm, aufgebracht.
Dies soll Streueffekte und Kapazitäten verringern. Das für diese Widerstandsart erstellte Modell ist 
in Abbildung \ref{fig:cst_model_1206_flipchip} dargestellt.
Bei der Modellierung wurde sich für beide Widerstandvarianten
auf \cite{VishayRFreq} bezogen.

\begin{figure}[ht]
    \begin{subfigure}[t]{.5\linewidth}
        \centering
        \includegraphics[width=0.9\textwidth]{entwicklung/cst_model_r1206.png}
        \subcaption{\label{fig:cst_model_1206}Modell des 1206-Widerstandes}
    \end{subfigure}%
    \begin{subfigure}[t]{.5\linewidth}
        \centering
        \includegraphics[width=0.9\textwidth]{entwicklung/cst_model_r1206_flipchip.png}
        \subcaption{\label{fig:cst_model_1206_flipchip}Modell des 1206-Flipchip-Widerstandes}
    \end{subfigure}
    \caption[Simulationsmodelle der Widerstände in CST]{Die in CST Studio Suite 2021 erstellten Widerstandsmodelle.
    Zu sehen ist die Keramik in weiß, die Metallkontakte in Braun, und der Kohlefilm in Dunkellila.
    Eigene Modellierung nach \cite{VishayRFreq}.}
  \end{figure}

Mithilfe dieser Modelle werden die kapazitiven Kopplungen bestimmt.
Hierfür wird der ``Electrostatic Solver'' von CST genutzt, 
welcher die elektrischen Felder im statischen Zustand,
sowie die kapazitive Kopplung von Potentialflächen berechnet. Die Widerstände werden hierbei auf einer Grundfläche aus FR4 platziert.
Dies entspricht dem Platinenmaterial einer realen Platine, welches durch sein Dielektrikum auch Einfluss auf die Kapazitäten hat.
Der Flipchip-Widerstand wird hierbei mit den Kontakten nach unten zeigend simuliert. Bei dem Standard-1206 Gehäuse
werden zwei Anbringungsmöglichkeiten (Widerstandsbelag nach oben und nach unten) getestet.
Die exakte Konfiguration der Simulation ist in Abbildung \ref{fig:cst_r_sim_setup} dargestellt.


\begin{figure}[ht]
    \centering
    \scalebox{-1}[1]{
        \includegraphics[width=0.7\textwidth]{entwicklung/cst_model_simsetup.png}
        }
        \caption[Aufbau der Simulation der parasitären Rückkoppelkapazitäten]{\label{fig:cst_r_sim_setup}Aufbau der elektrostatischen Simulation der Widerstandskapazitäten.
        Aufgebaut sind der Flipchip-Widerstand (rechts), ein regulärer 1206-Format Widerstand mit dem Kohlefilm auf der Unterseite (mittig),
        und ein 1206-Widerstand in normaler Aufbauweise mit dem Film nach oben zeigend (links). Die Widerstände sind auf einem FR4-Substrat angebracht (türkis)}
    \end{figure}
    
\FloatBarrier

In der Simulation werden die metallisierten Enden der Widerstände auf unterschiedliche 
Potentiale gelegt, um die elektrischen Felder berechnen zu können.
Hierbei wird $\pm\SI{0.5}{\volt}$ gewählt, um ein Gesamtpotential von $\SI{1}{\volt}$ aufzubauen, wobei
die Auswahl der Potentialwerte auf die von CST berechnete Kapazität keinen Einfluss nimmt und lediglich zur
Visualisierung dient.

Die Ergebnisse sind in Tabelle \ref{table:para_r_cf} dargestellt. Deutlich zu erkennen ist eine
Verringerung der parasitären Kapazität bei der Flipchip-Technologie. Die Anbringung des Standard-1206 
Widerstandes hat nur eine kleine Auswirkung auf die Kapazität, wobei die normale Anbringung (Film obig)
etwas besser scheint. Zusätzlich wurde die Kapazität in das Vakuum bzw. Erde berechnet.
Dies beeinflusst nicht direkt die Übertragungsfunktion des Widerstandes, trägt jedoch zuz.~B. 
der Eingangskapazität bei. Zudem scheint es keine großen Unterschiede bei der Anbringung des 
1206-Widerstandes zu geben, wofür im Folgenden nur noch die Standard-Anbringung betrachtet wird.

\begin{table}[hb]
    \centering
    \caption{\label{table:para_r_cf}Ergebnisse der Kapazitätsberechnung aus den CST-Simulationen}
    \begin{tabular}{ |l|r|r| }
        \hline
        Typ & Parallelkapazität $C_\mathrm{p}$ & Streukapazität $C_\mathrm{g}$ \\
        \hline
        1206, Film obig & $\SI{46.81}{\femto\farad}$ & $\SI{89.95}{\femto\farad}$ \\
        1206, Film unten & $\SI{46.93}{\femto\farad}$ & $\SI{90.17}{\femto\farad}$ \\
        Flipchip & $\SI{40.84}{\femto\farad}$  & $\SI{84.36}{\femto\farad}$ \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

Mithilfe der ersten Kapazitätswerte und der in Kapitel \ref{chap:tia_design_goals} bestimmten Bandbreite
lässt sich nun ein oberer Grenzwert des Rückkoppelwiderstandes berechnen.
Dies ergibt sich aus der Gleichung der Grenzfrequenz eines RC-Filters,
beschrieben in Gleichung \ref{eqn:max_rf}. Hierbei ist $f$ die 
zu erreichende Grenzfrequenz, $R_f$ der Ohm'sche Widerstand, und
$C_f$ die parasitäre Parallelkapazität.
Die berechneten Grenzwerte der Widerstände sind in Tabelle \ref{table:para_r_max} dargestellt.

\begin{eqnarray}
    f_c & = & \frac{1}{2\pi\cdot R_f \cdot C_p} \\
    \SI{30}{\kilo\hertz} & \leq  & f_c \\
    \SI{30}{\kilo\hertz} & \leq & \frac{1}{2\pi\cdot R_f \cdot C_p} \\
    R_f & \leq & \frac{1}{2\pi\cdot \SI{30}{\kilo\hertz} \cdot C_p} \label{eqn:max_rf}
\end{eqnarray}

\begin{table}[hb]
    \centering
    \caption{\label{table:para_r_max}Obere Grenzwerte der Widerstandsauswahl}
    \begin{tabular}{ |l|r| }
        \hline
        Typ & Grenzwert \\
        \hline
        1206, Film obig & $\SI{113.3}{\mega\ohm}$ \\
        1206, Film unten & $\SI{133.0}{\mega\ohm}$ \\
        Flipchip & $\SI{129.9}{\mega\ohm}$ \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

Für den gesamten TIV ist nach Kapitel \ref{chap:tia_design_goals} eine Gesamtverstärkung
von circa $\SI{1}{\giga\ohm}$ angestrebt und entsprechend des vorherigen Kapitels ist ein möglichst großer
Rückkoppelwiderstand vorteilhaft. Somit wird nun mithilfe der Simulationen nach der Quelle
dieser Kapazität und nach Möglichkeiten zur Verringerung dieser (und somit Steigerung der Widerstandsgrenze) gesucht.

Abbildungen \ref{fig:cst_r_potentials} und \ref{fig:cst_r_ds} zeigen die Ergebnisse der Feldsimulationen
auf. Hierbei ist die Feldstärke des betrachteten Feldes entlang einer Schnittfläche
aufgezeichnet. Das Potentialfeld lässt auf die Verteilung des
Spannungsverlaufes schließen, während das
D-Feldes Hinweise auf die Positionen der parasitären Kapazitäten gibt.
Dies ist möglich, da sich durch Integration des D-Feldes die Ladungsverteilung
auf leitenden Flächen berechnen lässt, wie in Gleichung
\ref{eqn:integral_d} angegeben ist \cite{GaussLaw}.

\begin{equation}
    \iint \vec{D} \cdot d\vec{A} = \iiint \rho_f dV\label{eqn:integral_d}
\end{equation}

Die Quellen des D-Feldes geben so Hinweise auf die Ladungsverteilung
der Simulation, wobei diese Ladungen von den hier betrachteten
Kapazitäten verursacht werden. Die D-Felder zeigen somit auf,
welche Elemente der Simulation zur Kapazität beitragen.

\begin{figure}[p]
    \centering
    \begin{subfigure}[b]{1\linewidth}
        \centering
        \includegraphics[width=0.7\textwidth]{entwicklung/cst_estatic/potential_all.png}
        \subcaption{\label{fig:cst_estatic_potential_all}Potentialfeld der Widerstände aus oberer Ansicht}
    \end{subfigure}

    \vspace{2pt}

    \hspace{0.15\linewidth}%
    \begin{subfigure}[t]{.22\linewidth}
        \centering
        \includegraphics[width=1\textwidth,trim={0 0.8cm 0 1.6cm},clip]{entwicklung/cst_estatic/potential_3t_t}
        \subcaption{Potential innerhalb des nach oben zeigenden 1206 Widerstandes}
    \end{subfigure}\hfill%
    \begin{subfigure}[t]{.22\linewidth}
        \centering
        \includegraphics[width=1\textwidth,trim={0 0.8cm 0 0.8cm},clip]
        {entwicklung/cst_estatic/potential_3t_b}
        \subcaption{Potential innerhalb des herunterzeigenden 1206 Widerstandes}
    \end{subfigure}\hfill%
    \begin{subfigure}[t]{.22\linewidth}
        \centering
        \includegraphics[width=1\textwidth,trim={0 0.8cm 0 0.8cm},clip]{entwicklung/cst_estatic/potential_flip}
        \subcaption{Potential innerhalb des Flipchip}
    \end{subfigure}\hspace{0.15\linewidth}

    \caption[Potentialfelder der elektrostatischen Simulation
        der Widerstände, verschiedene Ansichten]{
    \label{fig:cst_r_potentials}Potentialfelder der elektrostatischen Simulation
    der Widerstände, verschiedene Ansichten, gleiche Farbskala für alle Ansichten.
    Deutlich zu erkennen
    ist die gleichmäßige Verteilung des Potentialfeldes um die Anschlüsse der
    Widerstände herum.}
\end{figure}



\begin{figure}[p]
    \centering
    \begin{subfigure}[b]{1\linewidth}
        \centering
        \includegraphics[width=0.7\textwidth]{entwicklung/cst_estatic/d_all}
        \subcaption{\label{fig:cst_estatic_d_all}D-Feld der Widerstände von oberer Ansicht}
    \end{subfigure}

    \vspace{2pt}

    \hspace{0.15\linewidth}%
    \begin{subfigure}[t]{.22\linewidth}
        \centering
        \includegraphics[width=1\textwidth,trim={0 0.8cm 0 0.8cm},clip]{entwicklung/cst_estatic/d_3t_t}
        \subcaption{Schnittfläche des D-Feldes in der Mitte des nach oben zeigenden 1206 Widerstandes} 
    \end{subfigure}\hfill%
    \begin{subfigure}[t]{.22\linewidth}
        \centering
        \includegraphics[width=1\textwidth,clip,trim={0 1.2cm 0 1.2cm}]{entwicklung/cst_estatic/d_3t_b}
        \subcaption{Schnittfläche des D-Feldes in der Mitte des herunterzeigenden 1206}
    \end{subfigure}\hfill%
    \begin{subfigure}[t]{.22\linewidth}
        \centering        
        \includegraphics[width=1\textwidth,clip,trim={0cm 1.2cm 0cm 1.2cm}]{entwicklung/cst_estatic/d_flip}
        \subcaption{\label{fig:cst_d_flipchip}Schnittfläche des D-Feldes in der Mitte des Flipchip}
    \end{subfigure}\hspace{0.15\linewidth}

    \caption[D-Felder der Widerstandssimulationen]{
        \label{fig:cst_r_ds}
        D-Feldstärken der elektrostatischen Simulation in verschiedenen Ansichten, 
        gleiche Farbskala für alle Ansichten.
        Die D-Felder geben Aufschlüsse über die Ladungsverteilung und 
        somit die Verteilung der Kapazitäten. Deutlich zu erkennen ist die
        Konzentration der Felder um die Kontaktflächen der Widerstände herum.}
\end{figure}


\FloatBarrier

Deutlich zu erkennen ist der Grund der geringeren Kapazität des Flipchip in Abbildung \ref{fig:cst_d_flipchip}
im Vergleich zu dem Standardwiderstand. Durch die geringere metallisierte Oberfläche ist die D-Feld-Intensität
innerhalb der Keramik des Widerstandes verringert und befindet sich näher an der Unterseite.
Bei den Standardwiderständen liegt eine homogene Ausbreitung des D-Feldes in der Keramik vor.
Die D-Feld-Intensität innerhalb des PCB-Materials ist bei allen drei Widerständen gleich
und scheint ebenfalls einen großen Einfluss auf die Kapazität zu besitzen.

CST erlaubt die Berechnung des Feldflusses durch eine gegebene Fläche, welches dem
Flächenintegral der Gleichung \ref{eqn:integral_d} entspricht.
Somit können die Ladungsanteile berechnet werden, welche durch das D-Feld verursacht werden.
Abbildung \ref{fig:d_field_probe_all} zeigt die Flächen, welche zum Integrieren verwendet wurden.
Die entsprechenden Ergebnisse der Integration sind in Tabelle \ref{table:d_field_integration} dargestellt.

\begin{figure}[ht]
    \begin{subfigure}[t]{.5\linewidth}
        \centering
        \includegraphics[width=0.9\textwidth]{entwicklung/cst_estatic/d_probe_fc.png}
        \subcaption{\label{fig:d_field_probe_flipchip}Integrationsflächen des Flipchip-Widerstandes}
    \end{subfigure}%
    \begin{subfigure}[t]{.5\linewidth}
        \centering
        \includegraphics[width=0.9\textwidth]{entwicklung/cst_estatic/d_probe_3t_t.png}
        \subcaption{\label{fig:d_field_probe_1206}Integrationsflächen des 1206-Widerstandes}
    \end{subfigure}
    \caption[D-Feld Integrationsflächen]{\label{fig:d_field_probe_all}Die in CST genutzten Integrationsflächen (grün) zur
    Berechnung des D-Feld-Durchflusses}
\end{figure}

\FloatBarrier

\begin{table}[h]
    \centering
    \caption{\label{table:d_field_integration}Ergebnisse der Feldintegration bei $\SI{1}{\volt}$ Potential}
    \begin{tabular}{ |c|r|r| }
        \hline
        Typ & Feld im Keramik-Kern & Feld im PCB \\
        \hline
        1206 & $\SI{17.85}{\femto\coulomb}$ & $\SI{17.19}{\femto\coulomb}$ \\
        Flipchip & $\SI{15.99}{\femto\coulomb}$ & $\SI{17.89}{\femto\coulomb}$ \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

Hierbei muss angemerkt werden, dass die Simulation auch die Kapazität in das Vakuum simuliert.
Die somit berechneten Ladungen entsprechen nicht nur der Parallel-, sondern auch der Streukapazität.
Dies erklärt die leichten Diskrepanzen der berechneten Kapazität und der berechneten Feldstärken. 
Aus diesem Grund können die berechneten Feldstärken nur als Richtlinie für die Verteilung der Felder genutzt werden.

Zu sehen ist, dass sich ein erheblicher Anteil des Feldes,circa 50\%, durch das Material des PCBs bewegt. Dies
trifft auf sowohl den Standard-Widerstand als auch den Flipchip zu. 

\FloatBarrier

\subsubsection{Mitigation der Parallelkapazität}
\label{chap:r_para_mitigations}

Um den parasitären Kapazitäten entgegen zu wirken soll nun untersucht werden,
ob durch eine bestimmte Platzierung von Elektroden im PCB-Material
die Parallelkapazität verringert werden kann.
Durch korrekte Platzierung eines sog. Guard Rings bzw.
einer Abschirmungselektrode
kann theoretisch das D-Feld auf diese umgeleitet
werden, wodurch das PCB-Material selbst eine kleinere Teilhabe an der 
parasitären Kapazität des Widerstandes haben sollte \cite{SierraReduceCapacitances}\cite{Yang:21}.

Ein erster Versuch hierfür wird aus zwei symmetrischen Elektroden aufgebaut, welche unterhalb der Kontakte der 
Widerstände aufgebaut werden.
Ein separater Widerstandsteiler treibt diese Elektroden auf dasselbe Potential wie die entsprechenden Kontakte,
um eine zusätzliche Last auf den hochohmigen Widerstand zu vermeiden.
Abbildung \ref{fig:r_symmetric_shielding} zeigt den Aufbau der im Folgenden verwendeten Abschirmungselektroden und
deren Potentiale.

\begin{figure}[h]
    \begin{subfigure}[t]{.5\linewidth}
        \centering
        \includegraphics[clip,trim={4.8cm 0 7.2cm 0},width=0.9\linewidth]{entwicklung/cst_estatic_shld/shielding.png}
        \caption{Konstruktion der Schirmungselektroden}
    \end{subfigure}%
    \begin{subfigure}[t]{.5\linewidth}
        \centering
        \includegraphics[clip,trim={0 0 0.4cm 0},width=0.9\linewidth]{entwicklung/cst_estatic_shld/shielding_potential.png}
        \caption{\label{fig:r_symmetric_shielding_potential}Potentialfeld der Schirmungselektroden}
    \end{subfigure}
    \caption[Schnittbild durch die CST-Simulation der Abschirmungselektroden]{
        \label{fig:r_symmetric_shielding}
        Schnittbild 
        durch das Simulatiosmodell in CST, mit eingebauten Abschirmungselektroden.
        Deutlich zu erkennen ist die Umverteilung des Potentialfeldes, welches
        durch die Abschirmungselektroden verursacht wird.}
\end{figure}

Da es bei diesem Aufbau vier Potentiale gibt, sind auch entsprechend mehr Kapazitäten zu beachten. 
Abbidlung \ref{fig:r_shielding_capacitances} zeigt die in der Simulation 
betrachteten Kapazitäten, welche an einem der Widerstandskontakte anliegen.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\linewidth]{entwicklung/cst_estatic_shld/shielding_capacitors.drawio.png}
    \caption[Schematische Darstellung der Kapazitäten, welche einer der Widerstandskontakte sieht]{
        \label{fig:r_shielding_capacitances}
        Schematische Darstellung der Kapazitäten, welche einer der Widerstandskontakte sieht.
    Eigene Darstellung.}
\end{figure}

Von Interesse sind die Parallelkapazität der Widerstandskontake, $C_\mathrm{r,p}$, 
welches der im vorherigen Kapitel beschriebenen Kapazität $C_p$ entspricht, sowie den 
Kapazitäten $C_\mathrm{sa,rb}$ und $C_\mathrm{sb,ra}$, welche zwischen dem Widerstand und den 
Schirmungselektroden entstehen. Durch den hier verwendeten Aufbau sind diese Kapazitäten symmetrisch
und werden im Folgenden als $C_\mathrm{r,sp}$ bezeichnet.
Die Kapazitäten $C_\mathrm{sa,ra}$ und $C_\mathrm{sb,rb}$ sind nicht
relevant für die Bandbreite, da die Schirmelektrode auf das Potential des anliegenden Widerstandes getrieben wird, können
jedoch z.~B. die Eingangskapazität erhöhen. Diese werden im Folgenden als $C_\mathrm{r,s}$ bezeichnet.

Die Kapazität zwischen den Schirmelektroden beeinflusst nicht den hochohmigen Widerstand selbst,
da diese wie bereits beschrieben separat und niederohming mit Spannung versorgt werden.
Parasitäre Kapazitäten beeinflussen somit die Spannungen an den Schirmelektroden vernachlässigbar.

Tabelle \ref{table:shielding_capacitances} zeigt, dass die nun berechneten gesamten
Parallelkapazitäten ($C_\mathrm{r,p} + C_\mathrm{r,sp} = C_\mathrm{p}$) wesentlich
geringer sind als diejenigen ohne Abschirmung (Vergleich $C_\mathrm{p}$ in Tabelle \ref{table:shielding_capacitances} 
mit Tabelle \ref{table:para_r_cf}). Dies wird ebenfalls durch eine erneute Ladungsberechnung
mit der in Abbildung \ref{fig:d_field_probe_all} aufgezeigten Integrationsflächen bestätigt, dessen Ergebnisse in 
Tabelle \ref{table:shielding_charges} dargestellt sind.
Sowohl die vom Kern als auch die im PCB verursachten Ladungen wurden verringert, was darauf schließen
lässt, dass die Abschirmungselektroden einen größeren Einfluss haben als erwartet.
Abbildung \ref{fig:shielding_d_field} zeigt die Schnittbilder der D-Felder mit Abschirmungselektroden auf.


\begin{table}[hbp]
    \centering
    \caption{\label{table:shielding_capacitances}Parasitäre Kapazitäten mit Abschirmungselektroden}
    \begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c| }
        \hline
        Typ & $C_\mathrm{r,p}$ & $C_\mathrm{r,sp}$ & $C_\mathrm{r,s}$ & $C_\mathrm{r,g}$ & $C_\mathrm{p}$ \\
        \hline
        1206 & $\SI{5.64}{\femto\farad}$ & $\SI{28.16}{\femto\farad}$ & $\SI{194.25}{\femto\farad}$ & $\SI{17.71}{\femto\farad}$ & $\SI{33.8}{\femto\farad}$ \\
        Flipchip & $\SI{3.51}{\femto\farad}$ & $\SI{23.39}{\femto\farad}$ & $\SI{183.53}{\femto\farad}$ & $\SI{15.99}{\femto\farad}$ & $\SI{26.9}{\femto\farad}$ \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}


\begin{table}[htp]
    \centering
    \caption{\label{table:shielding_charges}Ergebnisse der Feldintegration mit Abschrimung bei $\SI{1}{\volt}$ Potential}
    \begin{tabular}{ |c|r|r| }
        \hline
        Typ & Feld im Keramik-Kern & Feld im PCB \\
        \hline
        1206 & $\SI{13.25}{\femto\coulomb}$ & $\SI{10.37}{\femto\coulomb}$ \\
        Flipchip & $\SI{11.35}{\femto\coulomb}$ & $\SI{9.22}{\femto\coulomb}$ \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

\begin{figure}[htp]
    \begin{subfigure}[t]{.5\linewidth}
        \centering
        \includegraphics[clip,trim={0 0 0 0},width=0.9\linewidth]{entwicklung/cst_estatic_shld/d_3t_t.png}
        \caption{Schnittbild des 1206-Widerstandes}
    \end{subfigure}%
    \begin{subfigure}[t]{.5\linewidth}
        \centering
        \includegraphics[clip,trim={0.5cm 0 0.5cm 0},width=0.9\linewidth]{entwicklung/cst_estatic_shld/d_fc.png}
        \caption{Schnittbild des Flipchip}
    \end{subfigure}
    \caption[Schnittbild der D-Feld Simulation der Abschirmungselektroden]{\label{fig:shielding_d_field}Schnittbild 
        des D-Feldes durch das Simulatiosmodell mit eingebauten Abschirmungselektroden.
        Zu erkennen ist die Umverteilung des D-Feldes von den Kontakten des Widerstandes
        weg auf die Abschirmungen hin.}
\end{figure}

\FloatBarrier

Die Abschirmungselektroden sind somit in der Lage, die parasitäre Parallelkapazität des Widerstandes deutlich
zu verringern. Hierdurch entstehen jedoch größere Kapazitäten zu den jeweiligen Schirmungselektroden, welche somit
auf das gleiche Potential wie den entsprechenden Widerstandskontakt getrieben werden müssen, um negative Effekte auf die
Bandbreite zu vermeiden.
Mit der verringerten Parallelkapazität lassen sich somit größere Widerstände verwenden. Die erneut berechneten
Grenzwerte sind in Tabelle \ref{table:para_rshield_max} aufgelistet.

\begin{table}[ht]
    \centering
    \caption{\label{table:para_rshield_max}Obere Grenzwerte der Widerstandsauswahl mit Abschirmelektroden}
    \begin{tabular}{ |c|r| }
        \hline
        Typ & Grenzwert \\
        \hline
        1206 & $\SI{156.96}{\mega\ohm}$ \\
        Flipchip & $\SI{197.22}{\mega\ohm}$ \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

\FloatBarrier

Da die berechneten Werte noch nicht der in Kapitel \ref{chap:tia_design_goals} festgelegten
Verstärkung entsprechen, werden zusätzlich noch andere Möglichkeiten zur Verringerung der
Parallelkapazität hinzugezogen.
Eine dieser Möglichkeiten ist die Nutzung mehrerer Widerstände in Reihenschaltung.
Gleichungen \ref{eqn:r_series_calc} und \ref{eqn:c_series_calc} beschreiben, wie
sich Gesamtwiderstand und -Kapazität bei Serienschaltung verhalten.

\begin{eqnarray}
    R_\mathrm{tot} & = & \sum_{i=1}^{n}{R_i} \label{eqn:r_series_calc}\\
    C_\mathrm{tot} & = & \left(\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{C_i}} \right)^{-1}\label{eqn:c_series_calc}
\end{eqnarray}

Mit der in Kapitel \ref{chap:r_para_calculations} genutzten Formel zur Berechnung
der Grenzfrequenz der RC-Schaltung kann nun die Grenzfrequenz der Serienschaltung
mehrerer Widerstände berechnet werden. 

Hierfür werden $R_\mathrm{tot}$ und 
$C_\mathrm{tot}$ in Gleichung \ref{eqn:rc_frequency} eingesetzt. Zusätzlich wird
vereinfacht davon ausgegangen, dass alle Widerstände gleich gewählt sind, wodurch
sich der totale Widerstand und die Kapazität entsprechend Gleichungen
\ref{eqn:series_r_rc_rsum} und \ref{eqn:series_r_rc_csum} berechnen lassen.
Gleichung \ref{eqn:r_series_frequency} beschreibt die Grenzfrequenz
der Reihenschaltung der Widerstände.
Aus Gleichung \ref{eqn:r_series_frequency} lässt sich erschließen, dass die Grenzfrequenz
der Gesamtschaltung der Grenzfrequenz eines einzelnen Widerstandes entspricht.
Dies bedeutet, dass bei Auswahl eines geeigneten Einzelwiderstandes eine beliebig hohe 
Gesamtimpedanz bei gleicher Bandbreite erreichbar ist.

\begin{eqnarray}
    R_\mathrm{tot} & = & n\cdot R \label{eqn:series_r_rc_rsum}\\
    C_\mathrm{tot} & = & \frac{C}{n} \label{eqn:series_r_rc_csum}\\
    f_\mathrm{3 db,tot} & = & \frac{1}{2\pi\cdot R_\mathrm{tot}\cdot C_{tot}} \\
    f_\mathrm{3 db,tot} & = & \frac{1}{2\pi\cdot nR \cdot \frac{C}{n}} \\
    f_\mathrm{3 db,tot} & = & \frac{1}{2\pi\cdot R\cdot C}\label{eqn:r_series_frequency}
\end{eqnarray}


Zu beachten ist jedoch, dass die einzelnen Zweige dieser Widerstandsschaltung
hochimpedante und somit empfindliche Potentiale darstellen. 
Parasitäre Kapazitäten wie z.~B. Streukapazitäten,
wie diejenigen in Tabelle \ref{table:shielding_capacitances} dargestellt,
können an diesen Potentialen ebenfalls die Bandbreite beeinflussen.
Mithilfe einer weiteren Simulation wird der Einfluss der Kapazitäten zu Erde untersucht.
Abbildung \ref{fig:r_series_para_sim} zeigt die verwendete Schaltung auf; die Ergebnisse dieser sind 
in Abbildung \ref{fig:r_series_para_results} aufgezeigt. Varriert wird hierbei die Größe der einzelnen
Kapazitäten zur Erde hin.

\begin{figure}[htb!]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{entwicklung/r_series/series_noshield.png}
    \caption{\label{fig:r_series_para_sim}Aufbau der Simulation zur 
        Analyse des Effektes der parasitären Kapazitäten auf eine Widerstands-Serienschaltung.}
\end{figure}

\begin{figure}[htb!]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/Parasitics/Rf_series_noshield.png}
    \caption[Ergebnisse der Simulation des
    Einflusses der parasitären Streukapazität]{\label{fig:r_series_para_results}Ergebnisse der Simulation des
        Einflusses der parasitären Streukapazität. Zu erkennen ist die starke Überhöhung der 
        Übertragungsfunktion des TIVs, verursacht durch eine zu hohe Streukapazität im
        Rückkoppelpfad.}
\end{figure}

\FloatBarrier

Deutlich zu erkennen ist eine starke Überhöhung der Bandbreite der Schaltung bei steigenden
parasitären Kapazitäten, welche auf eine Instabilität der Schaltung hinweisen. Eine Verringerung der
Kapazität zur Erde ist somit notwendig zum Erhalt der Stabilität bei Nutzung einer Reihenschaltung
von Widerständen.

Hierfür können die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Abschirmungselektroden genutzt werden.
Werden diese Elektroden über einen Widerstandsteiler auf die gleichen Potentiale wie die hochimpedanten
Widerstandszweige gelegt, so fließt kein Strom durch die parasitären Kapazitäten zur Abschirmung und 
die Bandbreite wird nicht angehoben.
Dies wird über eine weitere Simulation (Abbildung \ref{fig:r_series_para_comp_sim}) bestätigt.
Abbildung \ref{fig:r_series_para_comp_results} zeigt die simulierten Bandbreiten bei variierter
Kapazität auf. Deutlich zu erkennen ist eine wesentlich flachere Bandbreite bei größerer
Abschirmkapazität und eine Verminderung bis hin zur kompletten Vermeidung einer Überhöhung.
Es ist zu vermuten dass eine zu hohe Abschirmkapazität auch Rauschen in die Schaltung mit
ein bringt, weshalb die Kapazität der Schirmung passend ausgelegt werden muss. Dies ist
jedoch in einer Simulation schwer zu belegen, da die parasitären Rauscheffekte
einer realen Schaltung nicht einfach zu simulieren sind.


\begin{figure}[htb!]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{entwicklung/r_series/series_shielded.png}
    \caption[Aufbau der Simulation zur 
    Analyse des Effektes der Schirmungskapazitäten auf eine Widerstands-Serienschaltung]{\label{fig:r_series_para_comp_sim}Aufbau der Simulation zur 
        Analyse des Effektes der Schirmungskapazitäten auf eine Widerstands-Serienschaltung.}
\end{figure}

\begin{figure}[htb!]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/Parasitics/Rf_series_shielded.png}
    \caption[Ergebnisse der Simulation 
    zur Analyse der Auswirkungen der Abschirmkapazitäten]{
        \label{fig:r_series_para_comp_results}Ergebnisse der Simulation 
        zur Analyse der Auswirkungen der Abschirmkapazitäten. Zu erkennen 
        ist, dass eine zu kleine Abschirmung der Streukapazität nicht entgegen wirken
        kann. Eine höhere Abschirmkapazität scheint die Bandbreite stabiler zu halten.}
\end{figure}


\clearpage

\subsection{Effekte des OpAmp}
\label{chap:effects_opamp}

Dieser Abschnitt befasst sich nun mit den Effekte des OpAmp.
Als zentrales aktives Bauteil besitzt der OpAmp einen maßgeblichen Einfluss auf die Schaltung
und eine korrekte Auswahl ist notwendig um die in Kapitel
\ref{chap:tia_design_goals} festgelegten Zielparameter zu erreichen.
Dieser Auswahlprozess wird hier dargelegt.

\subsubsection{Limitierungen der Verstärkung}
\label{chap:opamp_parasitics_gbwp}

Wie bereits in Kapitel \ref{chap:basics_opamp} beschrieben, sind zwei der zentralen Parameter eines
OpAmp seine offene Verstärkung sowie sein GBWP.
Diese Parameter legen fest, welche Bandbreite bei gegebener Verstärkung erreichbar ist.
Die mathematische Berechnung dieser Grenzwerte ist durch den hohen Einfluss parasitärer Effekte 
wiez.~B. der Eingangskapazität der Schaltung nur schwer zu erreichen.
Aus diesem Grund werden die benötigten Parameter 
mithilfe einer Simulation in der Software ``LTSpice'' berechnet, welche
den Aufbau und die Simulation von elektrischen Schaltungen ermöglicht.

Abbildung \ref{fig:opamp_gbwp_circuit} zeigt den in LTSpice erstellten Schaltkreis.
Hierbei werden optimistischere Werte für parasitäre Effekte wie
die Rückkoppelkapazitäten gewählt, welche
nicht vom OpAmp verursacht werden. Hierdurch ist sichergestellt dass die parasitären
Effekte des OpAmp selbst in der Simulation dominierend sind.
Ein Rückkoppelwiderstand von $\SI{1}{\giga\ohm}$ wird entsprechend
des gewählten Zielwertes gewählt.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\linewidth]{entwicklung/opamp/opamp_gbwp.png}
    \caption[LTSpice-Schaltkreis zur Simulation der OpAmp-Übertragungsfunktion]{
        \label{fig:opamp_gbwp_circuit}LTSpice-Schaltkreis zur Simulation der OpAmp-Übertragungsfunktion.
    }
\end{figure}

\FloatBarrier

Die Stromquelle I1 wird als Stimulus-Eingang genutzt
und gibt ein Signal von $\SI{1}{\nano\ampere}$ aus. Eine parasitäre Eingangskapazität
von $\SI{10}{\pico\farad}$ wird als beispielhafter 
Wert der Eingangskapazität von OpAmp, PCB und Eingangsbuchse gewählt.
Die parasitäre Parallelkapazität C1 wird auf $\SI{3}{\femto\farad}$ als absolutes Minimum 
der in Kapitel \ref{chap:r_para_calculations} berechneten Kapazitäten gesetzt.
Gemessen wird die Ausgangsspannung des Verstärkers U1.

In einem ersten Versuch wird die Eingangsfrequenz von $\SI{1}{\hertz}$
bis $\SI{1}{\mega\hertz}$ variiert und die Ausgangsamplitude vermessen.
Verschiedene Kurven bei verändertem GBWP werden aufgezeichnet.
Abbildung \ref{fig:opamp_gbwp_results} zeigt die Ergebnisse dieser Simulation auf.

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/DesignEstimate/OpAmp_GBWP_Sweep.png}
    \caption[Darstellung der Auswirkung eines variierten OpAmp GBWP
    auf die Bandbreite und Stabilität der simulierten TIV-Schaltung]{\label{fig:opamp_gbwp_results}
        Darstellung der Auswirkung eines variierten OpAmp GBWP
        auf die Bandbreite und Stabilität der simulierten TIV-Schaltung.
        Zu erkennen ist der Einfluss des GBWP auf sowohl die Bandbreite 
        als auch die Stabilität des Verstärkers, wobei 
        zu kleine GBWP-Werte instabiler werden.}
\end{figure}

\FloatBarrier

Deutlich zu erkennen ist die Limitierung der Bandbreite durch den OpAmp. Bei einem GBWP
von $\SI{1}{\mega\hertz}$ ist die Bandbreite des Gesamtsystems auf circa 
$\SI{6}{\kilo\hertz}$ begrenzt, bei $\SI{100}{\mega\hertz}$ auf etwa
$\SI{56}{\kilo\hertz}$.
Ebenfalls zu erkennen ist einer Überhöhung der Übertragungsfunktion in den Fällen, in welchen
die Bandbreite durch den OpAmp limitiert wird. Diese Überhöhung lässt auf eine Resonanz schließen,
welche somit die Stabilität des Systems beeinflusst.
Eine solche Überhöhung muss vermieden werden, um Oszillationen sowie übermäßiges Rauschen zu vermeiden.
Ab dem $\SI{1}{\giga\hertz}$ GBWP-OpAmp ist keine solche Überhöhung zu sehen,
die Bandbreite ist hier überwiegend durch den Rückkoppelwiderstand begrenzt und das System ist stabil.
Die Reduktion der -3~dB-Bandbreite, welche in Tabelle \ref{table:opamp_gbwp_results} ab 
$\SI{316.22}{\mega\hertz}$ zu sehen ist, ist durch die Resonanz zu erklären.
Diese zieht die Übertragungsfunktion nach oben und verschärft den Abfall, wodurch die -3~dB-Frequenz
nach oben gezogen wird.

\begin{table}[ht]
    \centering
    \caption{\label{table:opamp_gbwp_results}Aus der Simulation bestimmte Bandbreiten der OpAmps bei variiertem GBWP}
    \begin{tabular}{ |r|r|r| }
        \hline
        GBWP & -3~dB Punk & Überhöhung \\
        \hline
        $\SI{1.00}{\mega\hertz}$ & $\SI{6.00}{\kilo\hertz}$ & $\SI{22.03}{\decibel}$ \\
        $\SI{3.16}{\mega\hertz}$ & $\SI{10.96}{\kilo\hertz}$ & $\SI{17.01}{\decibel}$ \\
        $\SI{10.00}{\mega\hertz}$ & $\SI{19.50}{\kilo\hertz}$ & $\SI{12.44}{\decibel}$ \\
        $\SI{31.62}{\mega\hertz}$ & $\SI{33.52}{\kilo\hertz}$ & $\SI{7.62}{\decibel}$ \\
        $\SI{100.00}{\mega\hertz}$ & $\SI{56.20}{\kilo\hertz}$ & $\SI{3.12}{\decibel}$ \\
        $\SI{316.22}{\mega\hertz}$ & $\SI{75.62}{\kilo\hertz}$ & $\SI{0.01}{\decibel}$ \\
        $\SI{1.00}{\giga\hertz}$ & $\SI{65.72}{\kilo\hertz}$ &  $\emptyset$ \\
        $\SI{3.16}{\giga\hertz}$ & $\SI{56.20}{\kilo\hertz}$ & $\emptyset$  \\
        $\SI{10.00}{\giga\hertz}$ & $\SI{54.95}{\kilo\hertz}$ & $\emptyset$  \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{table}

Zur Erfassung der benötigten offenen Verstärkung des OpAmp wird die LTSpice Simulation aus
Abbildung \ref{fig:opamp_gbwp_circuit} erneut genutzt. Nun wird jedoch nicht das GBWP des OpAmp
variiert, sondern die offene Verstärkung. Abbildung \ref{fig:opamp_aol_sweep_2}
zeigt die Simulationsergebnisse auf.

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/Parasitics/SingleStage_Aol_Sweep.png}
    \caption[Darstellung des Einflusses der offenen Verstärkung
        eines OpAmp]{
        \label{fig:opamp_aol_sweep_2}Darstellung des Einflusses der offenen Verstärkung
        eines OpAmp auf die Übertragungsfunktion eines TIVs. Deutlich zu erkennen ist der
        Einbruch der Bandbreite bei zu geringer Verstärkung. Es ist jedoch keine Instabilität
        zu erkennen.}
\end{figure}

Wie beim GBWP
ist hier ein starker Einfluss auf die Bandbreite zu erkennen, wenn die offene Verstärkung 
zu gering gewählt ist. So bricht die Bandbreite bereits ab einer Verstärkung von unter 10 000
ein, wobei keine Überhöhung oder Instabilität ersichtlich ist.
Ungleich des GBWP ist eine solche Limitierung durch eine zu kleine offene 
Verstärkung nicht nachteilig für die Stabilität der Schaltung.

\FloatBarrier

Um sicherzustellen dass die Stabilität der Schaltung auch bei variierenden parasitären Effekten gegeben ist,
werden Simulationen mit variablem C1 und Cin (siehe Abbildung \ref{fig:opamp_gbwp_circuit}) durchgeführt.
Die Ergebnisse hiervon sind in Abbildungen \ref{fig:opamp_gbwp_variation_result_1} und
\ref{fig:opamp_gbwp_variation_result_2} dargestellt.

Zu erkennen ist, dass die Rückkoppelkapazitäten $C_1$ keinen Einfluss auf die Stabilität haben und lediglich die Bandbreite
begrenzen, wie bereits in Kapitel \ref{chap:basics_parasitics} beschrieben wurde.
Die Eingangskapazität $C_\mathrm{in}$ jedoch scheint äquivalent zu einer Variation des GBWP zu sein, wobei eine größere Kapazität
die Bandbreite verringert und die Stabilität negativ beeinflusst.
Bei der Schaltungsauslegung muss somit genügend Marge bei der GBWP-Auswahl gelassen werden, um bei höher als 
erwartetem $C_\mathrm{in}$ stabil zu bleiben.

Zusammengefasst ist die OpAmp-Bandbreite ein wichtiger Faktor der Schaltung.
Ein zu klein gewähltes GBWP begrenzt sowohl die Bandbreite des Schaltkreises und kann zudem zu 
Instabilitäten führen. Eine zu klein gewählte offene Verstärkung kann ebenfalls zur Begrenzung 
der Bandbreite führen, jedoch ohne hierbei die Stabilität zu gefährden.
Aus den Simulationen wird geschlossen, dass ein Mindest-GBWP von $\SI{1}{\giga\hertz}$
notwendig ist, um stabil zu bleiben und die Bandbreite zu erhalten, wobei ein größeres GBWP vorteilhaft erscheint.
Eine minimale offene Verstärkung von circa 10 000 ist notwendig, um die Bandbreite nicht zu beeinflussen.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/Parasitics/SingleStage_Cin_Sweep.png}
    \caption[Ergebnisse der Simulation eines idealen
    OpAmp mit variierter Eingangskapazität]{
        \label{fig:opamp_gbwp_variation_result_1}Ergebnisse der Simulation eines idealen
        OpAmp mit variierter Eingangskapazität $C_\mathrm{in}$. Zu erkennen 
        ist eine Limitierung der Bandbreite sowie steigende
        Überhöhung der Übertragungsfunktion bei größerer 
        Kapazität.
    }
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/Parasitics/SingleStage_Cfp_Sweep.png}
    \caption[Ergebnisse der Simulation eines idealen
        OpAmp mit variierter parasitärer Widerstandskapazität]{
        \label{fig:opamp_gbwp_variation_result_2}Ergebnisse der Simulation eines idealen
        OpAmp mit variierter parasitärer Widerstandskapazität $C_\mathrm{1}$.
        Zu erkennen ist die Verringerung der Bandbreite bei steigender
        Kapazität.}
\end{figure}

\clearpage

\subsubsection{Verbesserung der OpAmp Bandbreite}

Wie im vorherigen Kapitel beschrieben, ist eine höhere Bandbreite des OpAmp notwendig, 
um die Schaltung stabil betreiben zu können. Die berechneten Parameter sind jedoch
nicht mit allen OpAmps erreichbar.
Um eine größere Auswahl von OpAmps zu ermöglichen, wird nun untersucht, ob eine Erhöhung der
effektiven Bandbreite möglich ist.

Da die Bandbreite eines einzelnen OpAmp durch seinen internen Aufbau limitiert ist, kann
an diesem nichts verändert werden. Es ist jedoch möglich, durch die Verschaltung zweier 
oder mehr OpAmps einen gesamten Schaltkreis mit effektiv höherer Bandbreite zu erhalten.
Hierfür werden zwei Möglichkeiten erprobt:

\begin{itemize}
    \item[a)] \textbf{Eine Reihenschaltung einzelner Verstärker-Stufen:}
        Es werden mehrere einzelne Stufen regulärer Verstärker hintereinander geschaltet.
        Hierdurch muss jede einzelne Stufe eine geringere Verstärkung erbringen
        und behält somit eine höhere Bandbreite.
        
        Von Vorteil ist der simple 
        Schaltungsaufbau sowie die gute Stabilität, da jede Stufe in sich 
        stabil designt werden kann und alle Stufen außer die erste Stufe als reguläre
        Verstärker, nicht als TIV, ausgelegt werden können.
        
        Nachteilhaft ist, dass die Fehler der OpAmps, vor allem
        der Eingangs-Offset, zusammen addiert werden, und
        somit die Präzision verringern.

    \item[b)] \textbf{Eine Komposit-Schaltung von OpAmps:}
        Anstelle einzelne Stufen hintereinander zu schalten ist es ebenso möglich,
        mehrere OpAmps zu einem Gesamtverstärker mit insgesamt höherer Bandbreite zu verschalten
        \cite[S.S. 332]{Horowitz:1981307}.

        Vorteilhaft ist die insgesamt höhere Präzision, da der Feedback-Pfad des gesamten
        Systems über alle OpAmps geschaltet ist.
        Nachteilhaft ist hierbei die komplexere Schaltung und die Notwendigkeit der Stabilität 
        durch vorsichtiges Balancieren der Stufen.
        Ein beispielhafter Schaltkreis ist in Abbildung \ref{fig:opamp_gbwp_increase_schematics}
        dargestellt.
\end{itemize}

\begin{figure}[hb]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.2]{grundlagen/CascadeOpAmp.drawio.png}
    \caption[Beispielhafte Schaltungen zur Erhöhung
    des OpAmp GBWP]{\label{fig:opamp_gbwp_increase_schematics}Beispielhafte Schaltungen zur Erhöhung
        des OpAmp GBWP durch Kaskadierung mehrerer OpAmps.}    
\end{figure}

Da für den hier betrachteten Anwendungsfall die Präzision von höherer Relevanz ist
und die vergleichsweise niedrigen Signalbandbreiten leichter stabilisierbar sind,
wird der komposite Schaltungsaufbau gewählt.
Es wird eine Simulation aufgebaut, mit welcher verschiedene
OpAmp-GBWP-Kombinationen simuliert werden können, um die Eigenschaften des Gesamtsystems 
untersuchen zu können.

\label{chap:opamp_cascade_explained}

Die Arbeitsweise dieser Verschaltung ist wie folgt:
\begin{enumerate}
    \item Der OpAmp U1 verstärkt die am Eingang anliegende Spannungsdifferenz, welche vom 
        TIV-Eingangsstrom und Masse generiert wird.

    \item Die Ausgangsspannung von U1 wird durch OpAmp U2 weiter verstärkt.
        U2 besitzt hierbei eine feste Verstärkung, welche durch den Widerstandsteiler R1/R2
        festgelegt wird.
    \item Der Ausgang von U2 wird über den Rückkoppelwiderstand an den TIV Ausgang angelegt.
        Hierdurch wird die Verstärkerschleife geschlossen.
    \item U1 regelt nun seinen eigenen Ausgang so, dass der Ausgang von U2 die
        Eingangsspannung ausgleicht.\\
        Da U2 eine festgelegte Verstärkung besitzt,
        übernimmt U1 zwangsweise die verbliebene Verstärkung, d.~h. $R_f / A_\mathrm{U2}$.
\end{enumerate}



Durch korrekte Auswahl von U1, U2 und der Verteilung der Verstärkung zwischen den OpAmps können
so die Vorteile verschiedener OpAmps kombiniert werden. Es kannz.~B. ein sensitiver und präziser
aber langsamer OpAmp in der ersten Stufe mit kleinerer Verstärkung betrieben werden und ein
wesentlich schnellerer OpAmp in der zweiten Stufe die Gesamtverstärkung des Systems liefern.

\FloatBarrier

Als exemplarisches Beispiel wird der ADA4817 als erste Stufe gewählt. Dieser OpAmp hat
ein exzellent niedriges Rauschen und geringe Eingangs-Leckströme und ist optimiert
für Messungen an hochimpedanten Eingängen. Er besitzt jedoch eine zu geringe Verstärkung,
um direkt in einer Stufe eine Verstärkung von $\SI{1}{\giga\ohm}$ zu erreichen.
Mithilfe 
einer LTSpice-Simulation wird nun untersucht, ob eine solche kaskadierte Verschaltung
zu einer nutzbaren Gesamtverstärkung führen kann. Der Aufbau der LTSpice-Simulation
ist in Abbildung \ref{fig:opamp_cascade_ltspice} dargestellt, während
die Ergebnisse der Simulation in Abbildung \ref{fig:opamp_analysis_stage_sweep} 
visualisiert sind. In der Simulation wird die Verstärkung der zweiten
Stufe durch Änderung der Widerstände variiert.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{entwicklung/opamp/opamp_ltspice_cascade.jpg}
    \caption{\label{fig:opamp_cascade_ltspice}Aufbau der LTSpice-Simulation
    zur Untersuchung einer kaskadierten OpAmp-Verschaltung.}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/DesignEstimate/OpAmp_Stages_Sweep.png}
    \caption[Ergebnis der Simulation einer OpAmp-Kaskadenschaltung]{
        \label{fig:opamp_analysis_stage_sweep}
        Ergebnis der LTSpice-Simulation einer kaskadierten OpAmp Verschaltung, mit
        variierter Verteilung der Verstärkung zwischen erster und zweiter Stufe.
        Legendenangabe gibt die Verstärkung der zweiten Stufe an. Geasmtverstärkung
        $\SI{1}{\giga\ohm}$. Zu erkennen ist eine Variation von sowohl der Bandbreite
        als auch der Stabilität, wobei eine kleinere Verstärkung in der zweiten 
        Stufe die Bandbreite zu limitieren scheint.}
\end{figure}

Deutlich zu erkennen sind zwei Effekte.
Bei zu geringer Verstärkung in der zweiten Stufe (und somit zu hoher Verstärkung in der ersten)
ist die Bandbreite durch den ersten OpAmp limitiert. Bei zu hoher Verstärkung in der zweiten Stufe
scheint eine Instabilität aufzutreten. Es scheint jedoch einen nutzbaren Bereich zu geben,
in welchem eine nutzbare Bandbreite ohne Instabilitäten erreicht wird.

\FloatBarrier
\subsubsection{OpAmp-Rauschen}
\label{chap:opamp_noise}

In diesem Abschnitt wird das Rauschen der OpAmps in Bezug auf die TIV-Schaltung
genauer untersucht.
Die bereits in Kapitel \ref{chap:basics_opamp} dargelegten parasitären Effekte haben
unterschiedliche Auswirkungen auf den Schaltkreis und das Rauschniveau,
welche hier dargestellt werden sollen.

Das eingangsbezogene Stromrauschen des OpAmps hat einen direkten Effekt auf das gemessene
Signal. Da der Eingang des TIV Ströme misst, wird das Stromrauschen lediglich auf das
Eingangssignal hinzu addiert und mit verstärkt. Eine Reduzierung des Effektes des Stromrauschens
ist somit nicht möglich, lediglich die Auswahl eines OpAmps mit wenig Rauschen ist hierfür relevant.
Mit hochperformanten OpAmps liegen typische Stromrausch-Werte im Bereich von 
circa $\SI{10}{\femto\ampere\per\sqrt{\hertz}}$, welches mit der geforderten
Bandbreite von $\SI{30}{\kilo\hertz}$ ungefähr ein eingangsbezogenes Rauschen von $\SI{1.73}{\pico\ampere}$ erzeugt.

Das Spannungsrauschen des OpAmp ist etwas komplexer.
Am Eingang des TIVs interagiert dieses Rauschen mit der parasitären Eingangskapazität und wirkt
somit als zusätzliches Stromrauschen, entsprechend der Formel $I = U \cdot 2\pi f \cdot C$.
Dieses Rauschen steigt somit sowohl mit größerer Eingangskapazität, als auch mit der Frequenz.

Mithilfe einer LTSpice-Simulation wird dieses Rauschverhalten genauer charakterisiert.\\
Hierbei wird die in Abbildung \ref{fig:opamp_vin_noise_schematic} dargestellte Schaltung verwendet.
Als OpAmp wird dabei der LTC6268-10 gewählt.
Dieser OpAmp eignet sich durch sein hohes GBWP und geringe Leckströme gut
für einen TIV, und wird aus diesem Grund als vorerste Auswahl eines beispielhaften
OpAmps für die Simulationen genutzt.

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth,clip,trim={0cm 0cm 15cm 0cm}]
    {entwicklung/opamp/opamp_ltspice_noise.jpg}
    \caption[Schaltkreis der LTSpice-Simulation zur 
    Bestimmung OpAmp-Rauschens]{
        \label{fig:opamp_vin_noise_schematic}Schaltkreis der LTSpice-Simulation zur 
      Bestimmung OpAmp-Rauschens.}
\end{figure}

Variiert werden $C_\mathrm{in}$ sowie $R_\mathrm{f}$, um die Auswirkungen dieser Parameter
betrachten zu können. Hierbei wird das Rauschen eingangsbezogen gemessen, d.~h. die Ausgangsspannung
wird durch $R_\mathrm{f}$ dividiert, um den Eingangsstrom zu erhalten. Hierdurch lassen sich die
Simulationswerte besser vergleichen. Die Ergebnisse sind in Abbildungen \ref{fig:opamp_vin_noise_rf}
und \ref{fig:opamp_vin_noise_cin} dargestellt.

\FloatBarrier

\begin{figure}[H]
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/Parasitics/SingleStage_LTC_Rf_Sweep_Noise.png}
    \caption[Rauschen in Abhängigkeit von $R_\mathrm{f}$]{
        \label{fig:opamp_vin_noise_rf}Rauschen in Abhängigkeit von $R_\mathrm{f}$.
        Zu erkennen ist die Abhängigkeit der gesamten Rauschamplitude
        vom Widerstand. Die Form des Rauschens entsteht durch drei Effekte.
        Im unteren Frequenzbereich ist das Spannungsrausches des OpAmp der
        dominierende Effekt, welches bei steigender Frequenz abfällt.
        Das Plateu ist überwiegend durch das thermische Rauschen
        des Widerstandes bestimmt. Der Anstieg des Rauschens in höheren
        Frequenzen entsteht durch das Stromrauschen, welches
        proportional zur Frequenz wächst.}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/Parasitics/SingleStage_LTC_Cin_Sweep_Noise.png}
    \caption{\label{fig:opamp_vin_noise_cin}Rauschen in Abhängigkeit von $C_\mathrm{in}$}
\end{figure}

Deutlich zu erkennen ist eine starke Abhängigkeit des Rauschens von beiden Parametern.
Die Eingangskapazität hat hierbei eine merkliche Auswirkung auf den frequenzabhängigen
Teil des Rauschens, welcher ab circa $\SI{100}{\hertz}$ bis $\SI{10}{\kilo\hertz}$
anfängt zu dominieren.
Bereits eine Kapazität von $\SI{10}{\pico\farad}$ erhöht das Rauschniveau merklich.
Da die parasitäre Eingangskapazität stark vom physikalischen Schaltungsaufbau abhängig ist,
muss somit bei der Auslegung des Designs auf niedrige Kapazität geachtet werden.

Der Rückkoppelwiderstand hat einen ebenso großen Einfluss auf das Rauschen.
Deutlich zu erkennen ist das Stromrauschen des Widerstandes selbst, beschrieben in Kapitel
\ref{chap:r_para_calculations}. Es ist zusätzlich zu sehen, dass der Rückkoppelwiderstand
auch auf das Rauschniveau der Eingangskapazität einen Einfluss nimmt, wobei ein
größerer Widerstand das Rauschen abdämpft.
Insgesamt soll somit auch für das OpAmp-Rauschen ein möglichst großer Rückkoppelwiderstand
gewählt werden, um Rauscheffekte zu unterdrücken.
