
\chapter{Grundlagen}

Dieses Kapitel stellt die grundegenden technischen Details für diese Arbeit dar.
Die Funktionsweise eines IMS wird näher beschrieben und die Rolle des TIVs in diesem System charakterisiert.
Ebenfalls werden Eigenschaften relevanter elektrischer Bauteile beschrieben.

\section{Grundlagen des Ionenmobilitätsspektrometers}

Im Folgenden ist die
Funktionsweise und Relevanz der Ionenmobilitätsspektrometrie
genauer beschrieben. Zusätzlich ist die Rolle des TIVs in
einem IMS dargestellt.

\subsection{Anwendungsgebiete der Ionenmobilitätsspektrometrie}

Im Folgenden soll auf die Relevanz und den Anwendungsbereich von
Ionenmobilitätsspektrometern eingegangen werden, um darzulegen,
dass die Technologie breite praktische Anwendungen findet.
Ein IMS bietet im Vergleich zu anderen Gasanalyseverfahren,
wiez.~B. einem Massenspektrometer, folgende Vorteile \cite{Eiceman2013Oct}:

\begin{itemize}
    \item Kostengünstig. IMS-Systeme können mitunter 
        für wenige hundert Euro aufgebaut werden
        \cite{Reinecke2018Oct}, wodurch sie leichter 
        in größeren Mengen aufgebaut werden können.
    \item Simpler, kompakter Aufbau \cite{Eiceman2013Oct}.
        Ein IMS kann bei atmosphärischem Druck
        betrieben werden und braucht somit kein
        Vakuum-Equipment. Hierdurch sind die Systeme
        wesentlich transportabler alsz.~B.
        Massenspektrometer.
    \item Schnelle, sensitive Messungen.
        Messungen
        mit einem IMS können bis hinunter auf wenige
        Zehntel von Sekunden dauern und
        zusätzlich Nachweisgrenzen
        im einstelligen ppt-Bereich erreichen \cite{Reinecke2018Oct}.
\end{itemize}

Hierdurch ergeben sich viele Anwendungsgebiete für ein IMS, mitunter in der
Sicherheitstechnik zur Detektion von explosiven Stoffen \cite[S.S. 269]{Eiceman2013Oct},
Drogen \cite[S.S. 301]{Eiceman2013Oct}, zur Analyse von Umgebungsproben \cite[S.S. 349]{Eiceman2013Oct}
und zur medizinischen Untersuchung und Überwachung von Patienten \cite[S.S. 366]{Eiceman2013Oct}.\\
Ein IMS ist somit äußerst relevant für eine breite Menge an
Arbeitsfeldern und eine Weiterentwicklung der Technologie kann ebenso breit gefächerte Vorteile haben.

\subsection{Funktionsweise eines IMS}
\label{chap:function_description_ims}

Der Author Eiceman beschreibt im Buch ``Ion Mobility Spectrometry'' die Ionenmobilitätsspektrometrie folgend:

\begin{quote}
    ``Der Term Ionen Mobilitäts Spektrometrie (IMS) beschreibt die Prinzipien, Methoden und Instrumente zur Charakterisierung von Substanzen anhand der Geschwindigkeit von Gruppen (definiert als Gruppen von gasförmigen Ionen) entnommen von einer Substanz, in einem elektrischen Feld und einem Driftgas.'' \cite[S.S. 1]{Eiceman2013Oct}
\end{quote}

Ein IMS-System analysiert somit Gase, indem eine Gasprobe ionisiert 
wird und mithilfe eines Trägergases und eines elektrischen Feldes
in diskrete Gruppen aufgespalten wird. Der Ablauf dieses Vorganges
ist grundsätzlich wie folgt \cite[S.S. 4]{Eiceman2013Oct}:

\begin{enumerate}
    \item Ein Probengas wird mit einer prozessspezifischen Ionenquelle ionisiert.
    
    \item Ein diskretes Paket dieses ionisierten Gases wird in eine Drift-Region
        injiziert, in dem sich ein Driftgas befindet.

    \item Mithilfe einer über der Driftregion anliegenden Spannung werden die 
        Ionen nach ihrer Mobilität getrennt.

    \item Die nun zeitlich getrennten Ionen-Pakete werden durch einen Detektor aufgefangen. Typischerweise ist dies eine Faraday-Platte. Hierdurch entsteht ein Stromfluss proportional zur Menge der Ionen.
    \item Ein Verstärker wandelt diese Ströme in messbare Spannungen um, welche digitalisiert und verarbeitet werden können.
\end{enumerate}

Ein typischer Aufbau eines IMS ist in Abbildung \ref{fig:IMS_Schematic} dargestellt.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.15]{grundlagen/IMS_Schematic.drawio.png}
    \caption[Schematischer Aufbau einer IMS-Röhre]{\label{fig:IMS_Schematic}Schematischer Aufbau einer IMS-Röhre nach \cite[Seite 3, Abb. 1.2.b]{Eiceman2013Oct}}
\end{figure}

Das Messergebnis eines IMS-Laufes wird als Spektrum bezeichnet
und ist meist als Strom über die Zeit dargestellt.
Abbildung \ref{fig:ims_example_spectrum} stellt beispielhalf
ein solches Spektrum dar.
In dieser Darstellung sind die verschiedenen Ionenpakete als
Peaks des Graphen zu erkennen.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/example_spectrum.png}
    \caption[Spektrum einer beispielhaften IMS-Messung]{
        \label{fig:ims_example_spectrum}Spektrum einer beispielhaften IMS-Messung.
        Aufgezeichnet ist die Ausgangsspannung des TIVs des IMS über die Zeit.
        Zu sehen ist der Peak des Driftgases um circa 
        $\SI{5.5}{\milli\second}$ herum, sowie Peaks von Ionenpaketen
        um $\SI{8.8}{\milli\second}$, $\SI{10.5}{\milli\second}$
        und $\SI{13}{\milli\second}$.
    }
\end{figure}

\FloatBarrier
\subsubsection{Aufgabe eines TIV im IMS}
\label{chap:tia_in_ims}

Wie in Kapitel \ref{chap:function_description_ims} beschrieben, beruht ein IMS auf der Messung der von den Ionenpaketen hervorgerufenen Ströme und deren zeitlicher Verteilung.
Um die kleinen Ströme der Ionen im Bereich von $\SI{1}{\pico\ampere}$ bis $\SI{10}{\nano\ampere}$ messen zu können, ist ein Verstärker notwendig. Dieser Verstärker wird als TIV bezeichnet, da er als Eingangsgröße einen Strom hat und eine Spannung als Ausgang gibt. Die Verstärkung wird somit in Ohm angegeben.

Folgende Anforderungen werden an den TIV eines IMS gestellt:
\begin{itemize}
    \item Möglichst geringes eingangsbezogenes Rauschen. Das Rauschen des TIVs
        beeinflusst das Signal-Zu-Rausch-Verhältnis, woraus sichz.~B.
        die Detektionsgrenzen ergeben. Ein kleineres 
        Rauschen erlaubt die Erkennung kleinerer Ionenströme mit größerer Sicherheit.

    \item Verstärkung von Strömen in der Größenordnung von $\SI{1}{\pico\ampere}$
        bis zu einigen $\SI{}{\nano\ampere}$. Die genaue Größe des Stromes ergibt sich durch
        den Aufbau des IMS selbst.
    \item Bereitstellung einer Ausgangsspannung im Bereich von $\SI{\pm2}{\volt}$.
        Da der Ausgang des TIVs zur digitalisierung des Signales genutzt wird, ist eine
        Ausgangsspannung gewünscht, welche mit herkömmlichen Analog-Digital-Wandlern kompatibel ist.
    \item Genügend Bandbreite zur korrekten Abbildung der Ionenströme. Eine zu kleine Bandbreite
        verzerrt die Form des gemessenen Ionenstromes und verschlechtert die Qualität der Messung.
        Schnellere Bandbreiten erlauben die Messung schnellerer Signale und somit auch kleinerer
        Ionenpakete.
\end{itemize}

\cleardoublepage
\section{Grundlegende Parasitäreffekte}
\label{chap:basics_parasitics}

Im Folgenden soll auf die parasitären Effekte der verschiedenen Bauteile eingegangen werden, welche
bei der Auslegung der Schaltung beachtet werden müssen.

\paragraph*{Leckströme:} Diese treten bei allen Schaltungsaufbauten auf.
Sie entstehen durch die hohen, aber endlichen, Oberflächenwiderstände der Bauteile
und der Leiterkarte (engl.: Printed Circuit Board, PCB) 
sowie durch Verunreinigungen \cite{AltiumLeakages}. Diese erlauben
es kleinen Leckströmen zwischen verschiedenen Zweigen der Schaltung zu fließen
und können bei Zweigen mit hoher Impedanz störend wirken 
\cite[S.f. 33-34]{DatasheetADA4530}. 
Abbildung \ref{fig:example_leakages} zeigt beispielhaft einige der Leckströme auf
einer Platine.

\begin{figure}[hb]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.18]{grundlagen/Examples_Leakages.drawio.png}
    \caption[Schematische Darstellung der Leckströme eines PCBs]{\label{fig:example_leakages}
        Schematische Darstellung eines PCBs mit Anschlüssen zu Bauteilen
        und Leiterbahnen, mit verschiedenen Leckstrompfaden entlang der Oberfläche.
        Leckströme fließen überwiegend durch Verunreinigungen
        zwischen freigelegten Kupferflächen, 
        können zudem auch durch Oberflächenladungen in einem
        Isolator wie dem Lötstopplack entstehen.
        Eigene Darstellung nach \cite{AltiumLeakages}\cite{Horowitz:1981307}.}
\end{figure}

\paragraph*{Parasitäre Kapazitäten:}
\label{chap:basics_parasitics_capacitances}
Diese entstehen ebenfalls durch den physikalischen
Aufbau der Schaltung. Die Nähe von Leitungen oder Kontakten zueinander,
oder zu einer Kupferebene wiez.~B. der Erdungsebene, erstellt eine
kapazitive Kopplung hierzwischen. Dieser Effekt verursacht Kapazitäten
im Bereich von einigen $\SI{}{\femto\farad}$, bei größeren Komponenten
sogar im Bereich von $\SI{}{\pico\farad}$.
Abbildung \ref{fig:example_parasitic_c} zeigt einige dieser Kapazitäten auf.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.15]{grundlagen/Examples_Capacitances.drawio.png}
    \caption[Schematische Darstellung der parasitären Kapazitäten eines PCBs]{\label{fig:example_parasitic_c}
        Schematische Darstellung einer Schnittfläche eines PCBs mit Leitungen und einem Bauteil,
        mit einigen parasitären Kapazitäten eingezeichnet.
        Diese Kapazitäten entstehen sowohl zwischen zwei Leitungen, Leitungen und Erdflächen, sowie den Anschlüssen eines Bauteiles.
        Eigene Darstellung nach \cite{SierraReduceCapacitances} und \cite{AltiumReduceCapacitance}.}
\end{figure}

Wichtig ist dieser Effekt in Kombination mit hochohmigen Eingängen und Widerständen.
So wirdz.~B. die Impedanz eines $\SI{100}{\mega\ohm}$ Widerstandes 
bereits ab wenigen zehn Kilohertz maßgeblich durch die eigene parasitäre Kapazität beeinflusst 
\cite{Yang:21}\cite{JBellemann22}\cite{VishayRFreq}\cite[S.S. 45]{DatasheetADA4530}.
Hierbei wird der effektive Widerstand bei höheren Frequenzen reduziert, entsprechend der
folgenden Formel \cite[S.S. 21]{Horowitz:1981307}:
\begin{equation}
    Z(f) = \left(\frac{1}{R} + j\cdot 2 \pi fC_p\right)^{-1}
\end{equation}

Die Frequenz, ab welcher die Kapazität einen größeren Einfluss als der eigentliche
Widerstand besitzt, wird als Grenzfrequenz bezeichnet, und lässt sich wie
folgt berechnen \cite[S.S. 49]{Horowitz:1981307}:
\begin{equation}
    f_{3 dB} = \frac{1}{2\pi R C_p} \label{eqn:rc_frequency}
\end{equation}

Die Parallelkapazität ist stark von der Bauform des Widerstandes abhängig
und liegt bei der Standardbaugröße ``1206'' im Bereich von circa $\SI{50}{\femto\farad}$ \cite{JBellemann22}.
So wird sich bei dem $\SI{100}{\mega\ohm}$ Widerstand ein RC-Pass-Filter mit einer Grenzfrequenz von $\SI{53.05}{\kilo\hertz}$ ausbilden.
Abbildung \ref{fig:example_r_cp} zeigt einige in einer Simulation berechneten Verläufe verschiedener
Widerstandsimpedanzen 
über die Frequenz und wie diese durch die parasitäre Kapazität einbrechen.

\FloatBarrier

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/Parasitics/Examples_R_Cp_RSweep.png}
    \caption[Impedanzverläufe verschiedener Widerstandswerte]{\label{fig:example_r_cp}
        Impedanzverläufe verschiedener Widerstandswerte bei gleicher parasitärer Kapazität $C_p = \SI{50}{\femto\farad}$,
        dem typischen Wert für die ``1206''-Bauform \cite{JBellemann22}.
        }
\end{figure}

\paragraph*{Thermisches Rauschen:} Dieses Rauschen, genannt 
Johnson-Nyquist-Rauschen, betrifft resistive Komponenten.
Es wird verursacht durch die thermische Bewegung von Ladungsträgern
und bildet ein weißes Rauschen aus.
Der Effektivwert des Rauschen lässt sich über die folgende Formel berechnen \cite[S.S. 474]{Horowitz:1981307}:

\begin{equation}
    U_{\mathrm{n,rms}} = \sqrt{4k_BTR\Delta f}\label{eqn:thermal_voltage_noise}
\end{equation}

Hierbei ist $U_{\mathrm{n,rms}}$ der RMS-Wert des Rauschens, 
$k_B$ die Boltzmann-Konstante,
 $T$ die Temperatur, $R$ der Widerstand des 
 betrachteten Bauteils und $\Delta f$ die Bandbreite, 
 über welche gemessen wird. Für den beispielhaften $\SI{100}{\mega\ohm}$
 Widerstand bei Raumtemperatur ($\SI{25}{\celsius}$) und einer Bandbreite
 von $\SI{30}{\kilo\hertz}$
 ergibt sich ein Rauschen von 
 $\SI{222.25}{´\micro\volt}$.
Abbildung \ref{fig:example_r_noise} zeigt den 
 schematischen Aufbau eines rauschenden Widerstandes.

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.15]{grundlagen/Schematic_Resistor.drawio.png}
    \caption[Ersatzschaltbild für die Modellierung eines 
        rauschenden, hochohmigen Widerstandes]{
        \label{fig:example_r_noise}Ersatzschaltbild für die Modellierung eines 
        rauschenden, hochohmigen Widerstandes nach \cite[S.S. 474]{Horowitz:1981307}.
        Durch die niedrigen Frequenzen und hohen Impendanzen kann die parasitäre Induktivität des Widerstandes
        in diesem Anwendungsfall vernachlässigt werden.}
\end{figure}

\cleardoublepage

\section{Grundlagen des Operationsverstärkers}
\label{chap:basics_opamp}

Im Folgenden werden die Grundlagen eines Operationsverstärkers (im Folgenden genannt OpAmp, aus dem Englischen ``Operational Amplifier'') dargelegt.
Hierbei ist nicht der exakte internen Aufbau entscheidend, sondern das für die Anwendung des TIVs relevante Verhalten sowie beeinflussende Parasitäreffekte.

Ein klassischer OpAmp ist ein elektronisches Bauteil, welches vielseitige Anwendungen in einer Schaltung findet.
Neben dem Aufbau als verstärkendes oder filterndes Bauteil sind auch differenzierende oder integrierende Schaltungsvarianten möglich.
Das grundlegende Verhalten eines OpAmps ist bei jeder Verschaltung jedoch äquivalent:\\
Ein OpAmp besitzt normalerweise zwei Eingänge, positiv und negativ, und einen Ausgang (siehe Abbildung \ref{fig:example_opamp}).

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.25]{grundlagen/OpAmp.drawio.png}
    \caption[Schematisches Symbol eines idealen OpAmps]{
        \label{fig:example_opamp}Schematisches Symbol eines idealen OpAmps, eigene Darstellung
    nach \cite[S.S. 224]{Horowitz:1981307}.}
\end{figure}

Die Spannung am Ausgang ergibt sich idealerweise durch folgende Formel:
\begin{equation}
    U_{\mathrm{out}} = A_\mathrm{ol} \cdot \left(U_+ - U_-\right)
\end{equation}
Hierbei ist $A_{\mathrm{ol}}$ der sog. Open-Loop-Gain bzw. die offene Verstärkung. Für einen idealen OpAmp kann dieser Wert als quasi unendlich angenommen werden.

Mithilfe eines Rückkoppelpfades wird das Ausgangssignal meist an den negativen Eingang
zurückgeführt. Der OpAmp wird somit den Ausgang so treiben, dass es keine Differenzspannung
zwischen den Eingangssignalen gibt. Mit korrekter Auswahl der Rückkopplung können
quasi-beliebige Transferfunktionen eingestellt werden.
Abbildung \ref{fig:example_opamp_amplifier} zeigt einen simplen
Verstärker-Schaltkreis, welcher das Eingangssignal um den Faktor 10 skaliert.

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.25]{grundlagen/OpAmp_10x.drawio.png}
    \caption[Beispielhafte Verstärkerschaltung mit einem OpAmp]{
        \label{fig:example_opamp_amplifier}Beispielhafte Verstärkerschaltung mit einem OpAmp,
        eigene Darstellung, nach \cite{Cox2002}.}
\end{figure}

\FloatBarrier

Ein realer OpAmp kann für viele Anwendungen als nahezu ideal angesehen werden.
Da in dieser Arbeit jedoch mit hohen Verstärkungen und kleinen Strömen gearbeitet
wird, müssen einige der parasitären Effekte des OpAmps mitbeachtet werden.
Diese sind wie folgt:


\paragraph*{Eingangs-Leckströme:} Ein idealer OpAmp besitzt Eingänge, 
        durch welche kein Strom fließen kann, um das Eingangssignal möglichst wenig zu stören.
        Reale OpAmps haben jedoch messbare Eingangsströme.
        Der exakte Wert hängt stark vom OpAmp-Typ ab, mit kleisten
        Werten im Bereich von $\SI{}{\femto\ampere}$, bis hin zu
        einigen $\SI{}{\micro\ampere}$.
        Diese Leckströme können in der Anwendung als TIV den gemessenen Strom stark verzerren
        und beeinflussen somit negativ das Messergebnis \cite[S.S. 302]{Horowitz:1981307}\cite{analogINBIAS2008}.

\paragraph*{Parasitäre Kapazitäten:} Ein OpAmp hat, bedingt durch die physikalische Auslegung des Bauteils, 
        verschiedene ungewollte Kapazitäten sowohl gegen Masse, als auch zwischen den Eingängen selbst.
        Diese können das Eingangssignal verzerren und stören somit die Übertragungsfunktion \cite{tiOpAmpCap2000}.
    
\paragraph*{Endliche Geschwindigkeit:} 
        Ein realer OpAmp kann auf Signaländerungen nur in endlicher Zeit reagieren. 
        Hierdurch ergibt sich eine Grenze der Bandbreite in Relation zur Verstärkung. 
        Dies wird als Produkt aus Verstärkung und Bandbreite angegeben \cite[S.S. 247]{Horowitz:1981307}\cite{Cox2002}.
        Im Folgenden wird dies als GBWP, aus dem Englischen ``Gain-Bandwidth-Product'', bezeichnet.
        Dies kann ebenfalls die Übertragungsfunktion beeinflussen, 
        da ein zu niedriges GBWP die Übertragungsfunktion instabil werden lässt.
        Abbildung \ref{fig:example_opamp_gbwp}
        zeigt den Einfluss verschiedener GBWP-Werte auf die Übertragungsfunktion auf. Deutlich zu erkennen ist eine Reduktion
        der Bandbreite, sowie eine Resonanz, welche bei zu kleinem GBWP auftreten kann.

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.7]{datavis/Parasitics/SingleStage_GBWP_Sweep.png}
    \caption[Einfluss des GBWP eines OpAmps auf einen TIV]{\label{fig:example_opamp_gbwp}Darstellung des
        Einflusses des GBWP auf die Übertragungsfunktion einer OpAmp Schaltung.
        Bei zu geringem GBWP ist die Bandbreite limitiert.
        Zudem ensteht eine Instabilität, welche den Schaltkreis zum oszillieren bringen kann.}
\end{figure}

\paragraph*{Endliche Verstärkung:} Ein realer OpAmp kann ein Signal nur um einen
        gewissen, endlichen Faktor verstärken. Dieser Faktor wird als ``offene''
        Verstärkung bezeichnet, da er ohne Rückkopplung gemessen wird.
        Diese Begrenzung führt zu einer Limitierung der absoluten
        Verstärkung einer OpAmp-Stufe \cite[S.S. 249]{Horowitz:1981307}.
        Zusammen mit einer Eingangskapazität bildet 
        sich im Falle eines TIVs hieraus ebenfalls eine Grenze der Bandbreite, da die Eingangskapazität
        den Anstieg der Eingangsspannung und durch die endliche Verstärkung auch den 
        Anstieg der Ausgangsspannung begrenzt \cite[S.S.541]{Horowitz:1981307}. 
        Dieser Effekt ist in Abbildung \ref{fig:opamp_aol_sweep} dargestellt,
        welche einen klaren Einbruch der Bandbreite bei zu geringer offener Verstärkung zeigt.
        \label{chap:opamp_aol_limit_explained}


\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/Parasitics/SingleStage_Aol_Sweep.png}
    \caption[Einfluss der offenen Verstärkung auf einen TIV]{\label{fig:opamp_aol_sweep}
        Ergebnisse einer Simulation zur Darstellung
        des Einflusses der offenen Verstärkung
        eines OpAmp auf die Übertragungsfunktion eines TIVs. Bei zu geringer Verstärkung
        bricht die Verstärkung frühzeitig ein, und es bildet sich ein Tiefpassverhalten
        aus. Es sind jedoch keine Instabilitäten zu erkennen.}
\end{figure}

\FloatBarrier

\paragraph*{Rauschen:}
        Ein realer OpAmp hat verschiedene Rauschquellen, welche in das Messsignal übergehen können.
        Diese treten sowohl als Spannungs- als auch als Stromquellen auf \cite{tiNoise2007}.
        Zusätzlich ist die Amplitude des Rauschens meist Frequenzabhängig.
        Abbildung \ref{fig:example_opamp_noise} stellt ein vereinfachtes Ersatzschaltbild der Rauschquellen dar.
        
\begin{figure}[htb]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.22]{grundlagen/OpAmp_Noise.drawio.png}
    \caption[Schematisches Ersatzschaltbild der Rauschquellen eines OpAmp]{\label{fig:example_opamp_noise}Schematisches,
    vereinfachtes Ersatzschaltbild der zusammengefassten Rauschquellen eines OpAmp nach \cite{tiNoise2007}. 
    Hierbei sind die Rauschquellen eingangsbezogen dargestellt.}
\end{figure}
        
Auf die physikalischen Ursachen dieses Rauschens soll hier nicht weiter eingegangen werden,
da diese durch die internen Schaltungen des OpAmp entstehen.\\
Das Spannungsrauschen ist hierbei im unteren Frequenzbereich proportional zu $1/f$ und flacht ab einer Eckfrequenz zu einem konstanten Wert ab, während das Stromrauschen konstant anfängt und im höheren Frequenzbereich proportional zu $f$ zu nimmt.
Abbildung \ref{fig:example_opamp_noise_plot} zeigt das Rauschen eines beispielhaft gewählten realen OpAmps.


\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/Parasitics/SingleStage_noise_example.png}
    \caption[
        Darstellung des Rauschens eines beispielhaft gewählten OpAmps
    ]{\label{fig:example_opamp_noise_plot}Darstellung des Rauschens eines beispielhaft gewählten OpAmps.
        Deutlich zu erkennen ist das Spannungsrauschen in den unteren Frequenzen, welches bis circa
        $\SI{1}{\kilo\hertz}$ dominiert, sowie das Stromrauschen in den oberen Frequenzen, welches ab
        $\SI{100}{\kilo\hertz}$ stark ansteigt.}
\end{figure}

\cleardoublepage

\section{Aufbau eines Transimpedanzverstärkers}
\label{chap:basics_tia}

Im Folgenden wird auf den grundlegenden Aufbau 
und die Funktionalität eines TIVs eingegangen, 
basierend auf \cite{Reinecke2018Oct} und \cite[S.S. 233]{Horowitz:1981307}.

Wie bereits beschrieben ist ein TIV eine OpAmp-Verschaltung, welche einen
Strom in eine Spannung umwandelt.
Die Verstärkung wird hierbei in $\Omega$ angegeben.
Abbildung \ref{fig:example_tia_circuit} zeigt den grundlegenden
Aufbau eines TIVs.

\begin{figure}[hb]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.2]{grundlagen/OpAmp_TIA.drawio.png}
    \caption[Grundlegender Schaltkreis eines Transimpedanzverstärkers]{
        \label{fig:example_tia_circuit}Grundlegender Schaltkreis eines Transimpedanzverstärkers,
        eigene Darstellung nach \cite{Reinecke2018Oct} und \cite[S.S. 233]{Horowitz:1981307}.}
\end{figure}

Die Funktionsweise ist wie folgt:
\begin{itemize}
    \item Der OpAmp regelt seinen Ausgang entsprechend Kapitel \ref{chap:basics_opamp},
    um die Differenz der Eingangsspannungen zu minimieren.
    Da der positive Eingang fest auf $\SI{0}{\volt}$ gelegt ist, wird der negative Eingang ebenfalls auf $\SI{0}{\volt}$ gesteuert.
    \item Ein Eingangsstrom fließt in den Eingang des TIV.
        Dieser Strom ändert die Spannung am negativen Eingang des OpAmps, wobei ein positiver Strom
        die Spannung ansteigen lässt bzw. ein negativer Strom die Spannung absenkt.

    \item Durch die aufbauende differenzielle Spannung am Eingang ändert der OpAmp seine Ausgangsspannung.
        Fließtz.~B. ein positiver Strom, steigt die Spannung am invertiernden OpAmp Eingang und die Ausgangsspannung
        senkt sich ab.

    \item Die neue Ausgangsspannung lässt über den Rückkoppelwiderstand $R_f$ einen Strom fließen.
    Dieser Strom gleicht den Eingangsstrom so aus, dass die Spannung am negativen Eingang zurück auf $\SI{0}{\volt}$ getrieben wird.
\end{itemize}

Für einen idealen TIV ergibt sich somit die Ausgangsspannung wie folgt:
\begin{equation}
    U_\mathrm{out} = R_\mathrm{f} \cdot I_\mathrm{in}
\end{equation}

Die Vor- und Nachteile dieser Schaltungsart sind wie folgt:

\begin{itemize}
    \item[+] Leicht einstellbare Verstärkung. Der Rückkoppelwiderstand legt direkt die Verstärkung fest.
    \item[+] Durch Auswahl eines geeigneten OpAmps und Rückkoppelwiderstandes sind sehr hohe Verstärkungen
        mit geringem Aufwand möglich.

    \item[+] Konstante Eingangsspannung. Der TIV-Eingang wird konstant auf $\SI{0}{\volt}$ getrieben. Hierdurch werden Effekte vonz.~B. parasitären Kapazitäten am Eingang verringert. Zudem können Abschirmungen an $\SI{0}{\volt}$, d.~h. Erde, angeschlossen werden.
    
    \item[-] Die Bandbreite kann stark durch parasitäre Effekte beeinflusst werden, und das Design
             der Schaltung muss diese Effekte einbeziehen.

    \item[-] Ein OpAmp mit sehr hohem GBWP ist notwendig, um stabil zu bleiben.
    \item[-] Durch die hohe Verstärkung ist die Schaltung sehr anfällig für
                das eingangsbezogene Rauschen des OpAmps sowie anderer Störquellen.
\end{itemize}