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\chapter{Grundlagen}

Dieses Kapitel wird grundegende technische Details für diese Arbeit dar stellen, um auf diesen später auf zu bauen.
Es wird hierbei die Funktionsweise eines IMS genauer beschrieben, und die Rolle des TIVs in diesem System charakterisiert.
Ebenfalls werden Eigenschaften relevanter elektrischer Bauteile beschrieben.

\section{Grundlagen des IMS}

Im Folgenden wird die Ionenmobilitätsspektrometrie, deren Funktionsweise und Relevanz genauer beschrieben.
Es wird der Nutzen der Technologie dargestellt, und die Position des TIVs innerhalb eines IMS charakterisiert, um die Relevanz eines qualitativen Verstärkers dar stellen zu können, sowie um später die Betriebsparameter dessen festlegen zu können.

\subsection{Anwendungsgebiete eines IMS}

Im Folgenden soll auf die Relevanz und den Anwendungsbereich der Ionenspektrometrie eingegangen werden, um dar zu legen dass die Technologie breite praktische Anwendungen findet. Ein IMS bietet im Vergleich zu anderen Gasanalyseverfahren wie z.B. einem Massenspektrometer folgende Vorteile \cite{Eiceman2013Oct}:

\begin{itemize}
    \item Kostengünstig. Ein IMS kann mitunter für wenige hundert Euro aufgebaut werden\cite{Reinecke2018Oct}, wodurch sie leichter in größeren Mengen aufgebaut werden können.
    \item Simpler, kompakter Aufbau. Ein IMS kann unter atmosphärischem Druck betrieben werden, und braucht somit kein Vakuum-Equipment. Hierdurch sind die Systeme wesentlich transportabler als z.B. Massenspektrometer.
    \item Schnelle Messungen. Messungen mit einem IMS können bis hinunter auf wenige Sekunden dauern. Hierdurch lassen sich schnell wichtige Messwerte erfassen.
    \item Hohe Sensitivität. Ein IMS kann Stoffkonzentrationen im unteren ppb messen, wodurch auch kleinste Mengen eines Stoffes sicher bestimmt werden können. 
\end{itemize}

Hierdurch gibt es viele Anwendungsgebiete für ein IMS, mitunter in der Sicherheitstechnik zur Detektion von explosiven Stoffen\cite[Seite 269]{Eiceman2013Oct}, Drogen\cite[301]{Eiceman2013Oct}, zur Analyse von Umgebungsproben\cite[Seite 349]{Eiceman2013Oct} und zur medizinischen Untersuchung und Überwachung von Patienten\cite[Seite 366]{Eiceman2013Oct}.\\
Ein IMS ist somit äußerst relevant für eine breite Menge an Arbeitsfeldern, und eine Weiterentwicklung der Technologie kann ebenso breit gefächerte Vorteile haben.

\subsection{Funktionsweise eines IMS}
\label{chap:function_description_ims}

Das Buch ``Ion Mobility Spectrometry'' beschreibt die Ionenmobilitätsspektrometrie folgend \cite[Seite 1]{Eiceman2013Oct}:

\begin{quote}
    Der Term Ionen Mobilitäts Spektrometrie (IMS) beschreibt die Prinzipien, Methoden und Instrumente zur Charakterisierung von Substanzen anhand der Geschwindigkeit von Gruppen (definiert als Gruppen von gasförmigen Ionen) entnommen von einer Substanz, in einem elektrischen Feld und einem Trägergas.
\end{quote}

Ein IMS-System analysiert somit Gase, in dem eine Gasprobe ionisiert wird, und mithilfe eines Trägergases und eines elektrischen Feldes in diskrete Gruppen aufgespalten wird. Der Ablauf dieses Vorganges ist grundsätzlich wie folgt \cite[Seite 4]{Eiceman2013Oct}:

\begin{enumerate}
    \item Ein Probengas wird mit einer prozessspezifischen Ionenquelle ionisiert.
    \item Ein diskretes Paket dieses ionisierten Gases wird in eine Drift-Region injeziert, welche mit einem inerten Trägergas gefüllt ist und über welche eine Spannung anliegt.
    \item Die angelegte Spannung beschleunigt die ionisierten Moleküle des Gaspacketes. Hierbei wird das Probegas in seine Bestandteile aufgespalten, da verschiedene Moleküle durch unterschiedliches Gewicht oder Ladung sich verschieden schnell durch die Drift-Region bewegen.
    \item Die nun zeitlich aufgespaltenen Ionen-Pakete werden durch einen Detektor aufgefangen. Typischerweise ist dies eine Faraday-Platte. Hierdurch entsteht ein Stromfluss proportional zur Menge der Ionen.
    \item Ein Verstärker wandelt diese Ströme in messbare Spannungen um, welche von der Sensorelektronik aufgenommen und verarbeitet werden.
\end{enumerate}

Ein typischer Aufbau eines IMS ist in Abbildung \ref{fig:IMS_Schematic} dargestellt.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.15]{grundlagen/IMS_Schematic.drawio.png}
    \caption{\label{fig:IMS_Schematic}Schematischer Aufbau einer IMS-Röhre nach \cite[Seite 3, Abb. 1.2.b]{Eiceman2013Oct}}
\end{figure}

Das Messergebnis eines IMS-Laufes wird as Spektrum bezeichnet, und wird meist als Strom über die Zeit dargestellt. In dieser Darstellung sind die verschiedenen Ionenpakete als Spitzen des Graphen zu erkennen. Abbildung \ref{fig:ims_example_spectrum} stellt beispielhalf ein solches Spektrum dar.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \missingfigure{IMS SPECTRUM HERE}
    \caption{\label{fig:ims_example_spectrum}Spektrum einer beispielhaften IMS-Messung}
\end{figure}

\subsubsection{Aufgabe eines TIV im IMS}
\label{chap:tia_in_ims}

Wie in Kapitel \ref{chap:function_description_ims} beschrieben, beruht ein IMS auf der Messung der diskreten Ionenpakete, deren zeitlicher Versatz und Größe. Um die kleinen Ströme der Ione im Bereich von $\SI{100}{\pico\ampere}$ bis $\SI{10}{\nano\ampere}$ messen zu können, ist ein Verstärker notwendig. Dieser Verstärker wird als sog. Transimpedanzverstärker bezeichnet, da er als Eingangsgröße einen Strom hat, und eine Spannung als Ausgang gibt. Die Verstärkung wird somit in Ohm angegeben. Der TIV stellt hiermit ein zentrales Bauteil eines IMS dar, dessen Parameter maßgeblich die Qualität der Messungen beeinflusst.

Folgende Aufgaben werden an den TIV eines IMS gestellt:
\begin{itemize}
    \item Möglichst Stör- und Leckfreier Messeingang
    \item Verstärkung von Strömen in der Größenordnung von $\SI{1}{\nano\ampere}$
    \item Bereitstellung einer messbaren Spannung im Bereich von $\SI{1}{\volt}$
    \item Genügend Bandbreite zur korrekten Abbildung der Spitzen der Ionenpackete
\end{itemize}

\section{Grundlegende Parasitäreffekte}
\label{chap:basics_parasitics}

In diesem Kapitel wird auf die parasitären Effekte weiterer Bauteile eingegangen, die im folgenden relevant sind und bei der Auslegung der Schaltung beachtet werden müssen.

\paragraph*{Leckströme:} Diese treten bei fast allen Schaltungsaufbauten auf. Sie entstehen durch die hohen aber endlichen Oberflächenwiderstände des PCB-Materials sowie durch durch Verunreinigungen. Diese erlauben es kleinen Leckströmen zwischen Zweigen der Schaltung zu fließen, und können bei Zweigen mit hoher Impedanz störend wirken.\todo{Find a citation for this}

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.25]{grundlagen/Examples_Leakages.drawio.png}
    \caption{\label{fig:example_leakages}Schematische Darstellung eines PCBs mit Anschlüssen zu Bauteilen (goldene Pads) und Leiterbahnen (dunkelgrün) mit verschiedenen Leckstrompfaden entlang der Oberfläche (schraffiert dargestellt). Leckströme fließen überwiegend zwischen freigelegten Kupferflächen, können zudem auch durch Oberflächenladungen in einem Isolator wie dem PCB-Lötstopplack entstehen.}
\end{figure}

\paragraph*{Parasitäre Kapazitäten:} Diese entstehen ebenfalls durch den physikalischen Aufbau der Schaltung. Die Nähe von Leitungen oder Kontakten zueinander, oder zu einer Kupferebene wie z.B. der Erdungsebene, erstellt eine leichte kapazitive Kopplung hierzwischen. Dieser Effekt verursacht Kapazitäten von $\SI{10}{\femto\farad}$ bis hin zu einigen $\SI{}{\pico\farad}$. Abbildung \ref{fig:example_parasitic_c} zeigt einige dieser Kapazitäten auf.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.2]{grundlagen/Examples_Capacitances.drawio.png}
    \caption{\label{fig:example_parasitic_c}Schematische Darstellung einer Schnittfläche eines PCBs mit Leitungen und einem Bauteil, mit einigen parasitären Kapazitäten eingezeichnet. Diese Kapazitäten entstehen sowohl zwischen zwei Leitungen, Leitungen und Erdflächen, sowie den Anschlüssen eines Bauteiles.}
\end{figure}

Wichtig ist dieser Effekt in Kombination mit hochohmigen Eingängen und Widerständen. So wird z.B. die Impedanz eines $\SI{100}{\mega\ohm}$ Widerstandes bereits ab wenigen zehn Kilohertz maßgeblich durch die eigene parasitäre Kapazität beeinflust. Diese liegt bei der Standardbaugröße ``1206'' im Bereich von ca. $\SI{30}{\femto\farad}$, und bildet einen RC-Pass-Filter mit einer Eckfrequenz von $\SI{53.05}{\kilo\hertz}$. Abbildung \ref{fig:example_r_cp} zeigt beispielhaft die Verläufe verschiedener Widerstandsimpedanzen über die Frequenz, und wie diese durch die parasitäre Kapazität einbrechen.

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/Parasitics/Examples_R_Cp_RSweep.png}
    \caption{\label{fig:example_r_cp}Impedanzverläufe verschiedener Widerstandswerte bei gleicher parasitärer Kapazität $C_p = \SI{30}{\femto\farad}$}
\end{figure}

\paragraph*{Thermisches Rauschen:} Dieses Rauschen, genannt Johnson-Nyquist-Rauschen, betrifft resistive Komponenten. Es wird verursacht durch die thermische Bewegung von Ladungsträgern, und bildet ein weißes Rauschen aus. Das Rauschen lässt sich über die folgende Formel berechnen:
\begin{equation}
    V_{\mathrm{n,rms}} = \sqrt{4k_BTR\Delta f}\label{eqn:thermal_voltage_noise}
\end{equation}

Hierbei ist $V_{\mathrm{n,rms}}$ der RMS-Wert des Rauschens, $k_B$ die Boltzmann-Konstante, $T$ die Temperatur, $R$ der Widerstand des betrachteten Bauteils und $\Delta f$ die Bandbreite, über welche gemessen wird. Abbildung \ref{fig:example_r_noise} zeigt den schematischen Aufbau eines rauschenden Widerstandes. \todo{Insert citation}

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.15]{grundlagen/Schematic_Resistor.drawio.png}
    \caption{\label{fig:example_r_noise}Schematische Darstellung eines realen Widerstandes nach \cite{WikipediaResistors2024May}}
\end{figure}

\section{Grundlagen des Operationsverstärkers}
\label{chap:basics_opamp}

Im folgenden werden die Grundlagen eines Operationsverstärkers (auch genannt OpAmp) dargelegt. Hierbei wird nicht auf den exakten internen Aufbau eingegangen, sondern das relevante Verhalten sowie einige Parasitäreffekte beschrieben.

Ein klassischer Operationsverstärker ist ein elektronisches Bauteil, welches vielseitige Anwendungen in einer Schaltung findet. Er kann als verstärkendes oder filterndes Bauteil aufgebaut werden, sowie differenzierend oder integrierend wirken. Die grundlegende Operation eines OpAmps ist bei jeder Verschaltung jedoch äquivalent:\\
Er besitzt zwei Eingänge, positiv und negativ, und einen Ausgang (siehe Abbildung \ref{fig:example_opamp}).
Dieser Ausgang wird entsprechend der Formel $V_{\mathrm{out}} = A_\mathrm{ol} * \left(V_+ - V_-\right)$ getrieben, wobei $A_{\mathrm{ol}}$ der sog. Open-Loop-Gain, also die offene Verstärkung, ist. Für einen idealen OpAmp kann dieser Wert als quasi unendlich angenommen werden. Mithilfe eines Rückkoppelpfades wird das Ausgangssignal meist an den negativen Eingang zurück geführt. Der OpAmp wird somit den Ausgang so treiben, dass es keine Differenzspannung zwischen den Eingangssignalen gibt. Mit korrekter Auswahl der Rückkopplung können quasi-beliebige Transferfunktionen eingestellt werden. Abbildung \ref{fig:example_opamp_amplifier} zeigt einen simplen Verstärker-Schaltkreis, welcher das Eingangssignal um den Faktor 10 skaliert.

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.25]{grundlagen/OpAmp.drawio.png}
    \caption{\label{fig:example_opamp}Schematisches Symbol eines idealen OpAmps}
\end{figure}

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.25]{grundlagen/OpAmp_10x.drawio.png}
    \caption{\label{fig:example_opamp_amplifier}Beispielhafte Verstärkerschaltung mit einem OpAmp}
\end{figure}

Ein realer OpAmp kann für viele Anwendungen als nahezu ideal angesehen werden. Da in dieser Arbeit jedoch mit hohen Verstärkungen und kleinen Strömen gearbeitet wird, müssen die parasitären Effekte des OpAmps mit beachtet werden. Diese sind wie folgt:

\begin{itemize}
    \item Eingangs-Leckströme. Die Eingänge eines realen OpAmp können kleine Ströme führen. Je nach Verstärker befinden sich diese im Bereich von $\SI{1}{\micro\ampere}$ bis hin zu $\SI{1}{\femto\ampere}$. Diese Leckströme können die Spannungen an den Eingängen, und somit das Messergebis, beeinflussen\cite{analogINBIAS2008}.
    \item Parasitäre Kapazitäten. Ein OpAmp hat, bedingt durch die physikalische Auslegung des Bauteils, verschiedene ungewollte Kapazitäten sowohl gegen Masse, als auch zwischen den Kanälen selbst. Diese können die Transferfunktion beeinflussen\cite{tiOpAmpCap2000}.
    \item Endliche Geschwindigkeit. Ein realer OpAmp kann auf Signaländerungen nur in endlicher Zeit reagieren. Hierdurch ergibt sich eine Grenze der Bandbreite in Relation zur Verstärkung. Dies wird als Verstärkungs-Bandpreitenprodukt\todo{Spelling OK?} charakterisiert\cite{Cox2002}. Im folgenden wird dies als GBWP aus dem Englischen ``Gain-Bandwidth-Product'' bezeichnet. Dies kann ebenfalls die Transferfunktion beeinflussen, siehe Abbildung \ref{fig:example_opamp_gbwp}.
    Das GBWP gibt an, bei welcher Frequenz der OpAmp eine Verstärkung von 1 aufweist. Die effektive Bandbreite eines OpAmp kann somit durch Dividieren des GBWP mit der Verstärkung berechnet werden.
    \item Endliche Verstärkung. Ein realer OpAmp kann ein Signal nur um einen
        gewissen, endlichen Faktor verstärken. Dieser Faktor wird als ``offene''
        Verstärkung bezeichnet, da er ohne Rückkopplung gemessen wird.
        Diese Begrenzung führt zu einer Limitierung der absoluten
        Verstärkung einer OpAmp-Stufe. Zusammen mit einer Eingangskapazität bildet 
        sich hieraus ebenfalls eine Grenze der Bandbreite, da die Eingangskapazität
        den Anstieg der Eingangsspannung, und durch die endliche Verstärkung auch den 
        Anstieg der Ausgangsspannung, begrenzt. Dies ist in Abbildung \ref{fig:opamp_aol_sweep} dargestellt. \label{chap:opamp_aol_limit_explained}
    \item Rauschen. Ein realer OpAmp hat verschiedene Rauschquellen, welche in das Messsignal übergehen können. Dies sind Eingangsbezogenes Strom- und Spannungsrauschen \cite{tiNoise2007}, und sind in Abbildung \ref{fig:example_opamp_noise} dargestellt. Auf die genauen Quellen dieses Rauschens soll hier nicht weiter eingegangen werden, da diese durch die internen Schaltungen des OpAmp entstehen.\\
    Das Spannungsrauschen ist hierbei im unteren Frequenzbereich proportional zu $1/\omega$ und flacht ab einer Eckfrequenz zu einem konstanten Wert ab, während das Stromrauschen konstant anfängt und im höheren Frequenzbereich proportional zu $\omega$ zu nimmt.
\end{itemize}

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/Parasitics/SingleStage_Aol_Sweep.png}
    \caption{\label{fig:opamp_aol_sweep}Darstellung des Einflusses der offenen Verstärkung
        eines OpAmp auf die Übertragungsfunktion eines TIVs. Bei zu geringer Verstärkung
        bricht die Verstärkung frühzeitig ein, und es bildet sich ein Tiefpassverhalten
        aus. Es sind jedoch keine Instabilitäten zu erkennen.}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/Parasitics/SingleStage_GBWP_Sweep.png}
    \caption{\label{fig:example_opamp_gbwp}Darstellung des Einflusses des GBWP auf die Übertragungsfunktion einer OpAmp Schaltung. Bei zu geringem GBWP ist die Bandbreite limitiert. Zudem ensteht eine Instabilität, welche den Schaltkreis zum oszillieren bringen kann.}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.25]{grundlagen/OpAmp_Noise.drawio.png}
    \caption{\label{fig:example_opamp_noise}Schematische, vereinfachte Darstellung der zusammengefassten Rauschquellen eines OpAmp nach \cite{tiNoise2007}. 
    Hierbei sind die Rauschquellen eingangsbezogen dargestellt.}
\end{figure}

\section{Aufbau eines Transimpedanzverstärkers}
\label{chap:basics_tia}

Im Folgenden wird auf den grundlegenden Aufbau und die Funktionalität eines TIVs eingegangen.

Ein TIV ist eine variante einer OpAmp-Verschaltung, dessen Aufgabe es ist, einen Strom in eine Spannung um zu wandeln. Somit wird die Verstärkung der Schaltung in $\Omega$ angegeben. Die grundlegende Schaltung ist hierbei in \ref{fig:example_tia_circuit} aufgeführt.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.2]{grundlagen/OpAmp_TIA.drawio.png}
    \caption{\label{fig:example_tia_circuit}Grundlegender Schaltkreis eines Transimpedanzverstärkers.}
\end{figure}

Die Funktionsweise ist wie folgt:
\begin{itemize}
    \item Der OpAmp steuert den Ausgang, um die Differenz der Eingangsspannungen zu minimieren. Da der positive Eingang fest auf $\SI{0}{\volt}$ gelegt ist, wird der negative Eingang ebenfalls auf $\SI{0}{\volt}$ gesteuert.
    \item Ein Eingangsstrom fließt in den Eingang des TIV. Durch den Strom kombiniert mit einer (parasitären) Eingangskapazität bildet sich eine Spannung aus.
    \item Durch die aufbauende differenzielle Spannung am Eingang steuert der OpAmp eine neue Ausgangsspannung an.
    \item Die Ausgangsspannung lässt über den Rückkoppelwiderstand $R_f$ einen Strom fließen. Dieser Strom gleicht den Eingangsstrom so aus, dass die Spannung am negativen Eingang zurück auf $\SI{0}{\volt}$ getrieben wird. Die Ausgangsspannung wird somit auf $R_\mathrm{f} \cdot I_\mathrm{in}$ getrieben.
\end{itemize}

Die Vor- und Nachteile dieser Schaltungsart sind wie folgt:

\begin{itemize}
    \item[+] Leicht einstellbare Verstärkung. Der Rückkoppelwiderstand legt direkt die Verstärkung fest.
    \item[+] Sehr hohe Verstärkungen sind durch Auswahl eines hohen Widerstandes möglich.
    \item[+] Konstante Eingangsspannung. Der TIV-Eingang wird konstant auf $\SI{0}{\volt}$ getrieben. Hierdurch werden Effekte von z.B. parasitären Kapazitäten am Eingang verringert. Zudem können Abschirmungen an $\SI{0}{\volt}$, d.h. Erde, angeschlossen werden.
    \item[-] Parasitäre Effekte begrenzen oft die Bandbreite.
    \item[-] Ein OpAmp mit sehr hohem GBWP ist notwendig, um stabil zu bleiben.
    \item[-] Durch die hohe Verstärkung ist die Schaltung sehr Rauschanfällig.
\end{itemize}