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\chapter{Grundlagen}

Dieses Kapitel stellt grundegende technische Details für diese Arbeit dar.
Die Funktionsweise eines IMS wird näher beschrieben und die Rolle des TIVs in diesem System charakterisiert.
Ebenfalls werden Eigenschaften relevanter elektrischer Bauteile beschrieben.

\section{Grundlagen eines IMS}

Im Folgenden werden die
Funktionsweise und Relevanz der Ionenmobilitätsspektrometrie
genauer beschrieben.
Der Nutzen der Technologie wird dargestellt, 
und die Position des TIVs innerhalb eines IMS charakterisiert
um die Relevanz eines qualitativen Verstärkers dar 
stellen zu können, sowie um später die Betriebsparameter dessen festlegen zu können.

\subsection{Anwendungsgebiete eines IMS}

Im Folgenden soll auf die Relevanz und den Anwendungsbereich
der Ionenspektrometrie eingegangen werden, um darzulegen
dass die Technologie breite praktische Anwendungen findet.
Ein IMS bietet im Vergleich zu anderen Gasanalyseverfahren
wie z.B. einem Massenspektrometer folgende Vorteile \cite{Eiceman2013Oct}:

\begin{itemize}
    \item Kostengünstig: Ein IMS kann mitunter für wenige hundert Euro aufgebaut werden \cite{Reinecke2018Oct},
        wodurch diese leichter in größeren Mengen aufgebaut werden können.
    \item Simpler, kompakter Aufbau: Ein IMS kann unter atmosphärischem Druck betrieben 
        werden und braucht somit kein Vakuum-Equipment. Hierdurch sind die Systeme 
        wesentlich transportabler als z.B. Massenspektrometer.
    \item Schnelle Messungen: Messungen mit einem IMS können bis hinunter auf wenige
        Sekunden dauern. Hierdurch lassen sich schnell wichtige Messwerte erfassen.
    \item Hohe Sensitivität: Ein IMS kann Stoffkonzentrationen im unteren ppb messen,
        wodurch auch kleinste Mengen eines Stoffes sicher bestimmt werden können. 
\end{itemize}

Hierdurch gibt es viele Anwendungsgebiete für ein IMS, mitunter in der
Sicherheitstechnik zur Detektion von explosiven Stoffen \cite[S.S. 269]{Eiceman2013Oct},
Drogen \cite[S.S. 301]{Eiceman2013Oct}, zur Analyse von Umgebungsproben \cite[S.S. 349]{Eiceman2013Oct}
und zur medizinischen Untersuchung und Überwachung von Patienten \cite[S.S. 366]{Eiceman2013Oct}.\\
Ein IMS ist somit äußerst relevant für eine breite Menge an
Arbeitsfeldern, und eine Weiterentwicklung der Technologie kann ebenso breit gefächerte Vorteile haben.

\subsection{Funktionsweise eines IMS}
\label{chap:function_description_ims}

Das Buch ``Ion Mobility Spectrometry'' beschreibt die Ionenmobilitätsspektrometrie folgend \cite[Seite 1]{Eiceman2013Oct}:

\begin{quote}
    Der Term Ionen Mobilitäts Spektrometrie (IMS) beschreibt die Prinzipien, Methoden und Instrumente zur Charakterisierung von Substanzen anhand der Geschwindigkeit von Gruppen (definiert als Gruppen von gasförmigen Ionen) entnommen von einer Substanz, in einem elektrischen Feld und einem Trägergas.
\end{quote}

Ein IMS-System analysiert somit Gase, indem eine Gasprobe ionisiert 
wird und mithilfe eines Trägergases und eines elektrischen Feldes
in diskrete Gruppen aufgespalten wird. Der Ablauf dieses Vorganges
ist grundsätzlich wie folgt \cite[S.S. 4]{Eiceman2013Oct}:

\begin{enumerate}
    \item Ein Probengas wird mit einer prozessspezifischen Ionenquelle ionisiert.
    \item Ein diskretes Paket dieses ionisierten Gases wird in eine Drift-Region injeziert, 
        welche mit einem inerten Trägergas gefüllt ist und über welcher eine Spannung anliegt.
    \item Die angelegte Spannung beschleunigt die ionisierten Moleküle des Gaspaketes.
        Hierbei wird das Probegas in seine Bestandteile aufgespalten, da verschiedene
        Moleküle durch unterschiedliches Gewicht oder Ladung sich verschieden
        schnell durch die Drift-Region bewegen.
    \item Die nun zeitlich aufgespaltenen Ionen-Pakete werden durch einen Detektor aufgefangen. Typischerweise ist dies eine Faraday-Platte. Hierdurch entsteht ein Stromfluss proportional zur Menge der Ionen.
    \item Ein Verstärker wandelt diese Ströme in messbare Spannungen um, welche von der Sensorelektronik aufgenommen und verarbeitet werden.
\end{enumerate}

Ein typischer Aufbau eines IMS ist in Abbildung \ref{fig:IMS_Schematic} dargestellt.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.15]{grundlagen/IMS_Schematic.drawio.png}
    \caption[Schematischer Aufbau einer IMS-Röhre]{\label{fig:IMS_Schematic}Schematischer Aufbau einer IMS-Röhre nach \cite[Seite 3, Abb. 1.2.b]{Eiceman2013Oct}}
\end{figure}

Das Messergebnis eines IMS-Laufes wird als Spektrum bezeichnet 
und wird meist als Strom über die Zeit dargestellt. 
In dieser Darstellung sind die verschiedenen Ionenpakete
als Spitzen des Graphen zu erkennen.
Abbildung \ref{fig:ims_example_spectrum} stellt beispielhalf ein solches Spektrum dar.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \missingfigure{IMS SPECTRUM HERE}
    \caption{\label{fig:ims_example_spectrum}Spektrum einer beispielhaften IMS-Messung}
\end{figure}

\FloatBarrier

\subsubsection{Aufgabe eines TIV im IMS}
\label{chap:tia_in_ims}

Wie in Kapitel \ref{chap:function_description_ims} beschrieben,
beruht ein IMS auf der Messung der diskreten Ionenpakete,
deren zeitlicher Versatz und Größe. Um die kleinen Ströme der
Ione im Bereich von $\SI{100}{\pico\ampere}$ bis $\SI{10}{\nano\ampere}$ messen zu können,
ist ein Verstärker notwendig. Dieser Verstärker wird als sog.
TIV bezeichnet, da er als Eingangsgröße einen
Strom hat, und eine Spannung als Ausgang gibt. Die Verstärkung wird
somit in Ohm angegeben. Der TIV stellt hiermit ein zentrales Bauteil
eines IMS dar, dessen Parameter maßgeblich die Qualität der Messungen beeinflusst.

Folgende Anforderungen werden an den TIV eines IMS gestellt:
\begin{itemize}
    \item Möglichst Stör- und Leckfreier Messeingang
    \item Verstärkung von Strömen in der Größenordnung von $\SI{1}{\nano\ampere}$
    \item Bereitstellung einer messbaren Spannung im Bereich von $\SI{1}{\volt}$
    \item Genügend Bandbreite zur korrekten Abbildung der Spitzen der Ionenpakete
\end{itemize}

\cleardoublepage
\section{Grundlegende Parasitäreffekte}
\label{chap:basics_parasitics}

Nun soll auf die parasitären Effekte der verschiedenen Bauteile eingegangen werden, welche
bei der Auslegung der Schaltung beachtet werden müssen.

\paragraph*{Leckströme:} Diese treten bei fast allen Schaltungsaufbauten auf.
Sie entstehen durch die hohen aber endlichen Oberflächenwiderstände des
PCB-Materials sowie durch durch Verunreinigungen. Diese erlauben
es kleinen Leckströmen zwischen Zweigen der Schaltung zu fließen,
und können bei Zweigen mit hoher Impedanz störend wirken. 
Abbildung \ref{fig:example_leakages} zeigt beispielhaft einige der Leckströme auf
einer Platine. \todo{Find a citation for this}

\begin{figure}[hb]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.25]{grundlagen/Examples_Leakages.drawio.png}
    \caption[Schematische Darstellung der Leckströme eines PCBs]{\label{fig:example_leakages}
        Schematische Darstellung eines PCBs mit Anschlüssen zu Bauteilen (goldene Pads)
        und Leiterbahnen (dunkelgrün) mit verschiedenen Leckstrompfaden entlang der Oberfläche 
        (schraffiert dargestellt).
        Leckströme fließen überwiegend zwischen freigelegten Kupferflächen, 
        können zudem auch durch Oberflächenladungen in einem Isolator wie dem PCB-Lötstopplack entstehen.
        Eigene Darstellung nach ???.}
\end{figure}
\todo{Find a citation}

\paragraph*{Parasitäre Kapazitäten:}
\label{chap:basics_parasitics_capacitances}
Diese entstehen ebenfalls durch den physikalischen
Aufbau der Schaltung. Die Nähe von Leitungen oder Kontakten zueinander,
oder zu einer Kupferebene wie z.B. der Erdungsebene, erstellt eine leichte
kapazitive Kopplung hierzwischen. Dieser Effekt verursacht Kapazitäten
von $\SI{10}{\femto\farad}$ bis hin zu einigen $\SI{}{\pico\farad}$.
Abbildung \ref{fig:example_parasitic_c} zeigt einige dieser Kapazitäten auf.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.15]{grundlagen/Examples_Capacitances.drawio.png}
    \caption[Schematische Darstellung der parasitären Kapazitäten eines PCBs]{\label{fig:example_parasitic_c}
        Schematische Darstellung einer Schnittfläche eines PCBs mit Leitungen und einem Bauteil,
        mit einigen parasitären Kapazitäten eingezeichnet.
        Diese Kapazitäten entstehen sowohl zwischen zwei Leitungen, Leitungen und Erdflächen, sowie den Anschlüssen eines Bauteiles.
        Eigene Darstellung nach.}
\end{figure}
\todo{find citation}

Wichtig ist dieser Effekt in Kombination mit hochohmigen Eingängen und
Widerständen. So wird z.B. die Impedanz eines $\SI{100}{\mega\ohm}$
Widerstandes bereits ab wenigen zehn Kilohertz maßgeblich durch die
eigene parasitäre Kapazität beeinflusst. Diese liegt bei der Standardbaugröße
``1206'' im Bereich von ca. $\SI{30}{\femto\farad}$ und bildet einen
RC-Pass-Filter mit einer Eckfrequenz von $\SI{53.05}{\kilo\hertz}$.
Abbildung \ref{fig:example_r_cp} zeigt einige in einer
Simuation berechneten Verläufe verschiedener
Widerstandsimpedanzen über die Frequenz und wie diese durch die parasitäre Kapazität einbrechen.

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{datavis/Parasitics/Examples_R_Cp_RSweep.png}
    \caption[Impendazverläufe diverser Widerstände]{\label{fig:example_r_cp}Impedanzverläufe
        verschiedener Widerstandswerte bei gleicher parasitärer Kapazität $C_p = \SI{30}{\femto\farad}$}
\end{figure}

\paragraph*{Thermisches Rauschen:} Dieses Rauschen, genannt 
Johnson-Nyquist-Rauschen, betrifft resistive Komponenten.
Es wird verursacht durch die thermische Bewegung von Ladungsträgern
und bildet ein weißes Rauschen aus.
Das Rauschen lässt sich über die folgende Formel berechnen:

\begin{equation}
    V_{\mathrm{n,rms}} = \sqrt{4k_BTR\Delta f}\label{eqn:thermal_voltage_noise}
\end{equation}

Hierbei ist $V_{\mathrm{n,rms}}$ der RMS-Wert des Rauschens, $k_B$ die Boltzmann-Konstante, $T$ die Temperatur, $R$ der Widerstand des betrachteten Bauteils und $\Delta f$ die Bandbreite, über welche gemessen wird. Abbildung \ref{fig:example_r_noise} zeigt den schematischen Aufbau eines rauschenden Widerstandes. \todo{Insert citation}

\begin{figure}[hb]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.13]{grundlagen/Schematic_Resistor.drawio.png}
    \caption{\label{fig:example_r_noise}Schematische Darstellung
        eines realen Widerstandes nach \cite{WikipediaResistors2024May}.}
\end{figure}

\cleardoublepage

\section{Grundlagen des Operationsverstärkers}
\label{chap:basics_opamp}

Im Folgenden werden die Grundlagen eines Operationsverstärkers
(auch genannt OpAmp) dargelegt. Hierbei wird nicht auf den exakten
internen Aufbau eingegangen, sondern das relevante Verhalten sowie einige Parasitäreffekte beschrieben.

Ein klassischer Operationsverstärker ist ein elektronisches Bauteil,
welches vielseitige Anwendungen in einer Schaltung findet.
Er kann als verstärkendes oder filterndes Bauteil aufgebaut
werden, sowie differenzierend oder integrierend wirken.
Die grundlegende Operation eines OpAmps ist bei jeder Verschaltung jedoch äquivalent:\\
Er besitzt zwei Eingänge, positiv und negativ, und einen Ausgang (siehe Abbildung \ref{fig:example_opamp}).
Die folgende Formel gibt den Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung dar:

\begin{equation}
    U_{\mathrm{out}} = A_\mathrm{ol} * \left(U_+ - U_-\right)
\end{equation}

Hierbei ist $A_{\mathrm{ol}}$ der sog. Open-Loop-Gain, also die offene Verstärkung.
Für einen idealen OpAmp kann dieser Wert als quasi unendlich angenommen werden.

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.25]{grundlagen/OpAmp.drawio.png}
    \caption{\label{fig:example_opamp}Schematisches Symbol eines idealen OpAmps, eigene Darstellung.}
\end{figure}

Mithilfe eines Rückkoppelpfades wird das Ausgangssignal meist an den negativen Eingang
zurück geführt. Der OpAmp wird somit den Ausgang so treiben, dass es keine Differenzspannung
zwischen den Eingangssignalen gibt. Mit korrekter Auswahl der Rückkopplung können
quasi-beliebige Transferfunktionen eingestellt werden.
Abbildung \ref{fig:example_opamp_amplifier} zeigt einen simplen
Verstärker-Schaltkreis, welcher das Eingangssignal um den Faktor 10 skaliert.

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.25]{grundlagen/OpAmp_10x.drawio.png}
    \caption{\label{fig:example_opamp_amplifier}Beispielhafte Verstärkerschaltung mit einem OpAmp,
        eigene Darstellung, nach \cite{Cox2002}.}
\end{figure}

\FloatBarrier

Ein realer OpAmp kann für viele Anwendungen als nahezu ideal angesehen werden.
Da in dieser Arbeit jedoch mit hohen Verstärkungen und kleinen Strömen gearbeitet
wird, müssen die parasitären Effekte des OpAmps mitbeachtet werden.
Diese sind wie folgt:

\begin{itemize}
    \item Eingangs-Leckströme: Die Eingänge eines realen OpAmp können kleine Ströme führen.
        Je nach Verstärker befinden sich diese im Bereich von $\SI{1}{\micro\ampere}$ bis
        hin zu $\SI{1}{\femto\ampere}$. Diese Leckströme können die Spannungen an den
        Eingängen, und somit das Messergebis, beeinflussen \cite{analogINBIAS2008}.
    \item Parasitäre Kapazitäten: Ein OpAmp hat, bedingt durch die physikalische
        Auslegung des Bauteils, verschiedene ungewollte Kapazitäten sowohl
        gegen Masse, als auch zwischen den Kanälen selbst.
        Diese können die Transferfunktion beeinflussen \cite{tiOpAmpCap2000}.
    \item Endliche Geschwindigkeit: Ein realer OpAmp kann auf Signaländerungen
        nur in endlicher Zeit reagieren. Hierdurch ergibt sich eine Grenze der
        Bandbreite in Relation zur Verstärkung.
        Dies wird als Verstärkungs-Bandpreitenprodukt charakterisiert \cite{Cox2002}.
        Im folgenden wird dies als GBWP aus dem Englischen ``Gain-Bandwidth-Product''
        bezeichnet. Dies kann die Transferfunktion beeinflussen, und wird
        mit einer Simulation in LTSpice demonstriert. Die Ergebnisse dieser
        Simulation sind in Abbildung \ref{fig:example_opamp_gbwp} dargestellt.
    \item Endliche Verstärkung: Ein realer OpAmp kann ein Signal nur um einen
        gewissen, endlichen Faktor verstärken. Dieser Faktor wird als ``offene''
        Verstärkung bezeichnet, da er ohne Rückkopplung gemessen wird.
        Diese Begrenzung führt zu einer Limitierung der absoluten
        Verstärkung einer OpAmp-Stufe. Zusammen mit einer Eingangskapazität bildet 
        sich hieraus ebenfalls eine Grenze der Bandbreite, da die Eingangskapazität
        den Anstieg der Eingangsspannung, und durch die endliche Verstärkung auch den 
        Anstieg der Ausgangsspannung, begrenzt. Dies ist in Abbildung \ref{fig:opamp_aol_sweep} dargestellt. \label{chap:opamp_aol_limit_explained}
    \item Rauschen: Ein realer OpAmp hat verschiedene Rauschquellen, welche in das Messsignal übergehen können. Dies sind Eingangsbezogenes Strom- und Spannungsrauschen \cite{tiNoise2007}, und sind in Abbildung \ref{fig:example_opamp_noise} dargestellt. Auf die genauen Quellen dieses Rauschens soll hier nicht weiter eingegangen werden, da diese durch die internen Schaltungen des OpAmp entstehen.\\
    Das Spannungsrauschen ist hierbei im unteren Frequenzbereich proportional zu $1/\omega$ und flacht ab einer Eckfrequenz zu einem konstanten Wert ab, während das Stromrauschen konstant anfängt und im höheren Frequenzbereich proportional zu $\omega$ zu nimmt.
\end{itemize}

\begin{figure}[hb]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.7]{datavis/Parasitics/SingleStage_Aol_Sweep.png}
    \caption[Einfluss der offenen Verstärkung auf einen TIV]{\label{fig:opamp_aol_sweep}
        Ergebnisse einer Simulation zur Darstellung
        des Einflusses der offenen Verstärkung
        eines OpAmp auf die Übertragungsfunktion eines TIVs. Bei zu geringer Verstärkung
        bricht die Verstärkung frühzeitig ein, und es bildet sich ein Tiefpassverhalten
        aus. Es sind jedoch keine Instabilitäten zu erkennen.}
\end{figure}

\begin{figure}[hb]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.7]{datavis/Parasitics/SingleStage_GBWP_Sweep.png}
    \caption[Einfluss des GBWP eines OpAmps auf einen TIV]{\label{fig:example_opamp_gbwp}Darstellung des
        Einflusses des GBWP auf die Übertragungsfunktion einer OpAmp Schaltung.
        Bei zu geringem GBWP ist die Bandbreite limitiert.
        Zudem ensteht eine Instabilität, welche den Schaltkreis zum oszillieren bringen kann.}
\end{figure}

\begin{figure}[hb]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.22]{grundlagen/OpAmp_Noise.drawio.png}
    \caption[Schematische Darstellung der Rauschquellen eines OpAmp]{\label{fig:example_opamp_noise}Schematische,
    vereinfachte Darstellung der zusammengefassten Rauschquellen eines OpAmp nach \cite{tiNoise2007}. 
    Hierbei sind die Rauschquellen eingangsbezogen dargestellt.}
\end{figure}

\cleardoublepage

\section{Aufbau eines Transimpedanzverstärkers}
\label{chap:basics_tia}

Im Folgenden wird auf den grundlegenden Aufbau und die Funktionalität eines TIVs eingegangen.

Ein TIV ist eine variante einer OpAmp-Verschaltung, dessen Aufgabe es ist, einen Strom in eine Spannung umzuwandeln.
Somit wird die Verstärkung der Schaltung in $\Omega$ angegeben.
Die grundlegende Schaltung ist hierbei in \ref{fig:example_tia_circuit} aufgeführt.

\begin{figure}[hb]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.2]{grundlagen/OpAmp_TIA.drawio.png}
    \caption{\label{fig:example_tia_circuit}Grundlegender Schaltkreis eines Transimpedanzverstärkers,
        eigene Darstellung nach \cite{Reinecke2018Oct}.}
\end{figure}
\todo{Find a citation for this?}

Die Funktionsweise ist wie folgt:
\begin{itemize}
    \item Der OpAmp steuert den Ausgang, um die Differenz der Eingangsspannungen zu minimieren. Da der positive Eingang fest auf $\SI{0}{\volt}$ gelegt ist, wird der negative Eingang ebenfalls auf $\SI{0}{\volt}$ gesteuert.
    \item Ein Eingangsstrom fließt in den Eingang des TIV. Durch den Strom kombiniert mit einer (parasitären) Eingangskapazität bildet sich eine Spannung aus.
    \item Durch die aufbauende differenzielle Spannung am Eingang steuert der OpAmp eine neue Ausgangsspannung an.
    \item Die Ausgangsspannung lässt über den Rückkoppelwiderstand $R_f$ einen Strom fließen. Dieser Strom gleicht den Eingangsstrom so aus, dass die Spannung am negativen Eingang zurück auf $\SI{0}{\volt}$ getrieben wird. Die Ausgangsspannung wird somit auf $R_\mathrm{f} \cdot I_\mathrm{in}$ getrieben.
\end{itemize}

Die Vor- und Nachteile dieser Schaltungsart sind wie folgt:

\begin{itemize}
    \item[+] Leicht einstellbare Verstärkung. Der Rückkoppelwiderstand legt direkt die Verstärkung fest.
    \item[+] Sehr hohe Verstärkungen sind durch Auswahl eines hohen Widerstandes möglich.
    \item[+] Konstante Eingangsspannung. Der TIV-Eingang wird konstant auf $\SI{0}{\volt}$ getrieben. Hierdurch werden Effekte von z.B. parasitären Kapazitäten am Eingang verringert. Zudem können Abschirmungen an $\SI{0}{\volt}$, d.h. Erde, angeschlossen werden.
    \item[-] Parasitäre Effekte begrenzen oft die Bandbreite.
    \item[-] Ein OpAmp mit sehr hohem GBWP ist notwendig, um stabil zu bleiben.
    \item[-] Durch die hohe Verstärkung ist die Schaltung sehr rauschanfällig.
\end{itemize}